Interpretacions de la probabilitat

Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses, justificant la teva resposta:

1. a) «Porto $20$ tirades seguides sense treure un $5$ amb aquest dau correcte. Segons la llei dels grans nombres, en la pròxima tirada és molt probable que per fi surti un $5$.»
2. b) «Encara que en les últimes $20$ tirades no hagi sortit cap $5$, la probabilitat que surti en la següent continua essent $\frac{1}{6}$: l'atzar no té memòria.»

S'ha simulat amb l'ordinador el llançament repetit d'una moneda i s'ha anotat la freqüència relativa de CARA després de $10$, $100$, $1.000$ i $10.000$ llançaments, tal com es mostra a la gràfica.

1. a) Cap a quin valor sembla estabilitzar-se la freqüència relativa? Quina probabilitat estimaries per a CARA?
2. b) Quina llei justifica aquest comportament? Enuncia-la amb les teves paraules.
3. c) Explica per què l'estimació amb $10$ llançaments és poc fiable encara que l'experiment sigui correcte.

Després de simular $10.000$ llançaments d'una moneda amb l'ordinador, la freqüència relativa de CARA ha resultat ser $0,5003$. Dos alumnes comenten el resultat:

• Alumne A: «La moneda està trucada, perquè si fos justa la freqüència relativa seria exactament $0,5$.»

• Alumne B: «La probabilitat exacta de CARA en aquesta moneda és $0,5003$.»

1. a) Analitza l'error de cadascun dels dos raonaments.
2. b) Escriu una conclusió correcta sobre el que l'experiment permet afirmar quant a la moneda.

Es llança una xinxeta $400$ vegades i cau amb la punta cap amunt en $260$ ocasions.

1. a) Estima la probabilitat que la xinxeta caigui amb la punta cap amunt.
2. b) Explica per què en aquest experiment no es pot aplicar la regla de Laplace.
3. c) Quina interpretació de la probabilitat has utilitzat a l'apartat a)?

L'aplicació del temps anuncia: «demà, $70\ \%$ de probabilitat de pluja».

1. a) Explica què significa aquesta afirmació: es tracta d'una probabilitat clàssica (de Laplace), freqüentista o subjectiva? En quines dades creus que es basa?
2. b) Tres amics assignen probabilitats al partit de dissabte. El primer diu: «guanya el meu equip amb probabilitat $0,5$, empata amb $0,3$ i perd amb $0,3$». El segon diu: «guanya amb $0,6$, empata amb $0,3$ i perd amb $0,1$». Són coherents totes dues assignacions? Per què?
3. c) Pot ser «incorrecta» una probabilitat subjectiva encara que sigui coherent? Comenta-ho breument.

Tres persones parlen de la probabilitat que l'autobús de les 8:00 arribi tard:

• Persona 1: «Dels últims $200$ dies lectius va arribar tard $24$, així que la probabilitat és $0,12$.»

• Persona 2: «L'autobús arriba puntual o tard: dos casos possibles, per tant la probabilitat d'arribar tard és $\frac{1}{2}$.»

• Persona 3: «Jo diria que hi ha un $40\ \%$ de probabilitat que arribi tard; és el que em sembla per la meva experiència.»

1. a) Identifica a quina interpretació de la probabilitat (freqüentista, clàssica o de Laplace, i subjectiva) correspon cada afirmació.
2. b) El raonament d'una de les persones és incorrecte. De quina es tracta i per què?
3. c) Quines dades recolliries per millorar cadascuna de les tres estimacions?

En una parada de fira es juga a «el disc de la sort»: es deixa caure un disc de $2\ \text{cm}$ de diàmetre sobre una quadrícula de quadrats de $5\ \text{cm}$ de costat, com es mostra a la figura, i es guanya si el disc cau sense tocar cap ratlla.

1. a) Calcula la probabilitat teòrica de guanyar. (Suggeriment: la posició del disc queda determinada pel seu centre; raona en quina regió de cada quadrat ha de caure el centre.)
2. b) Un jugador llança el disc $300$ vegades i guanya $114$. Calcula la freqüència relativa de guanyar i compara-la amb la probabilitat teòrica.
3. c) Contradiu el resultat experimental la probabilitat teòrica? Raona la teva resposta.

Es llança un dard a una diana circular formada per tres cercles concèntrics de radis $r$, $2r$ i $3r$. Suposant que el dard sempre impacta a la diana i que la probabilitat d'impactar en una regió és directament proporcional a la seva àrea, calcula la probabilitat que el dard impacti a la corona circular intermèdia (la regió compresa entre el cercle de radi $r$ i el de radi $2r$).