Vectores y espacios vectoriales
En 1º de Bachillerato trabajaste con vectores del plano: dos números bastaban para describirlos. Pero un dron no solo se mueve hacia delante y hacia un lado, también sube o baja; una pieza mecánica no solo tiene largo y ancho, también alto. Para describir el espacio real hace falta una tercera coordenada, y casi todo lo que ya sabes de vectores se extiende de forma natural.
Vectores con tres coordenadas
Expresa el vector $\vec{w} = (7, 11, 2)$ como una combinación lineal de los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$, es decir, en función de…
Expresa el vector $\vec{w} = (7, 11, 2)$ como una combinación lineal de los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$, es decir, en función de $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ y $\vec{k} = (0, 0, 1)$.
El vector $\vec{AB}$ y su módulo
Un dron de vigilancia despega desde una plataforma situada en el punto $A(1, -2, 5)$ y se desplaza en línea recta hasta alcanzar un objetivo en el punto $B(4, 3, -1)$.…
Un dron de vigilancia despega desde una plataforma situada en el punto $A(1, -2, 5)$ y se desplaza en línea recta hasta alcanzar un objetivo en el punto $B(4, 3, -1)$. Calcula las componentes del vector de desplazamiento $\vec{AB}$ y obtén su módulo para conocer la distancia recorrida por el dron.
Suma y producto por un escalar
Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realiza las siguientes operaciones analíticas: a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ b)…
Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realiza las siguientes operaciones analíticas:
- a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$
- b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$
- c) Calcula el valor del escalar $k$ si se sabe que $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.
Combinación lineal y dependencia
Determina si los vectores $\vec{a} = (1, -2, 4)$ y $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ son linealmente dependientes. Justifica tu respuesta comprobando si sus coordenadas son…
Determina si los vectores $\vec{a} = (1, -2, 4)$ y $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ son linealmente dependientes. Justifica tu respuesta comprobando si sus coordenadas son proporcionales y explica qué relación geométrica existe entre ellos (¿son paralelos?).
Calcula el valor del parámetro $m$ para que el vector $\vec{u} = (m, 2, -1)$ sea combinación lineal de los vectores $\vec{v} = (1, 0, 2)$ y $\vec{w} = (0, 1, -1)$…
Calcula el valor del parámetro $m$ para que el vector $\vec{u} = (m, 2, -1)$ sea combinación lineal de los vectores $\vec{v} = (1, 0, 2)$ y $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mediante la expresión $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.
Puntos, vectores de posición y aplicaciones
En el diseño de una estructura metálica, dos vigas se unen en sus extremos representados por los puntos $P(2, 5, -3)$ y $Q(8, -1, 7)$. Para reforzar la estructura, se…
En el diseño de una estructura metálica, dos vigas se unen en sus extremos representados por los puntos $P(2, 5, -3)$ y $Q(8, -1, 7)$. Para reforzar la estructura, se debe colocar un soporte exactamente en el punto medio del segmento $PQ$. Halla las coordenadas de dicho punto medio $M$.
Tres estaciones de radio están situadas en los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ y $C(5, 3, -1)$. Comprueba si las tres estaciones están alineadas (pertenecen a la misma…
Tres estaciones de radio están situadas en los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ y $C(5, 3, -1)$. Comprueba si las tres estaciones están alineadas (pertenecen a la misma línea recta) estudiando la proporcionalidad de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$.
Considera un paralelogramo donde tres de sus vértices consecutivos son $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ y $C(5, 5, 3)$. Utilizando la igualdad entre vectores (por ejemplo,…
Considera un paralelogramo donde tres de sus vértices consecutivos son $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ y $C(5, 5, 3)$. Utilizando la igualdad entre vectores (por ejemplo, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$.
Ecuaciones de la recta en el espacio
Una recta queda determinada por un punto $A(a_1,a_2,a_3)$ y un vector director no nulo $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$. Su ecuación vectorial es $\vec{OP}=\vec{OA}+t\vec v$, $t\in\mathbb R$. Por componentes:
$$x=a_1+tv_1,\qquad y=a_2+tv_2,\qquad z=a_3+tv_3.$$Son las ecuaciones paramétricas. Si las tres componentes del director son no nulas, despejar t da la forma continua:
$$\frac{x-a_1}{v_1}=\frac{y-a_2}{v_2}=\frac{z-a_3}{v_3}.$$Si una componente es cero, conserva esa coordenada constante: no dividas entre cero. Para la recta por dos puntos distintos A y B puedes tomar $\vec v=\vec{AB}$.
El parámetro recorre posiciones sobre una dirección fija:
Elige la forma según la tarea: paramétricas para generar puntos o modelar movimiento; dos planos para resolver intersecciones mediante sistemas. Para extraer el director de dos planos secantes, sirve el producto vectorial de sus normales.