El mètode de Gauss
Ja coneixes el mètode de Gauss d'1r: triangular un sistema combinant files fins a deixar-lo esglaonat. Ara que tens el llenguatge de matrius i rang, Gauss es converteix en una cosa més potent: és, de fet, el procediment amb el qual calcules el rang de qualsevol matriu, i per tant el que et permet aplicar Rouché-Frobenius a la pràctica, fins i tot amb més equacions que incògnites.
Triangular és calcular el rang
Classifica el sistema següent segons el seu nombre de solucions després d'aplicar el mètode de Gauss. Indica si és compatible determinat, compatible indeterminat o…
Classifica el sistema següent segons el seu nombre de solucions després d'aplicar el mètode de Gauss. Indica si és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible basant-te en l'última fila obtinguda:
$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$Sistemes amb paràmetre: triangular amb una lletra
Es considera el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $k$: $\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$ a)…
Es considera el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $k$:
$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$
- a) Discuteix el sistema utilitzant el mètode de Gauss segons els diferents valors de $k$.
- b) En el cas que el sistema sigui compatible indeterminat, determina la solució general i troba una solució particular tal que la suma de les seves components sigui igual a 1.
- c) Hi ha algun valor de $k$ per al qual el sistema representi tres plans que es tallen en una recta? Justifica la resposta.
Considera el sistema d'equacions: $\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$ a) Discuteix el sistema per als diferents valors de…
Considera el sistema d'equacions:
$\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$
- a) Discuteix el sistema per als diferents valors de $a$ real.
- b) Si $a = 1$, descriu geomètricament la solució.
- c) Si $a = -2$, demostra mitjançant Gauss que el sistema és incompatible. Quina configuració geomètrica formen els tres plans en aquest cas? Justifica la teva resposta amb les posicions relatives dels plans (per exemple, estudiant els seus vectors normals) i ajuda't d'un esquema fet per tu.
Més equacions que incògnites
Estudia el sistema següent de 4 equacions amb 3 incògnites mitjançant el mètode de Gauss:…
Estudia el sistema següent de 4 equacions amb 3 incògnites mitjançant el mètode de Gauss:
$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \\ 3x + 4y + 2z = a \end{cases}$
- a) Determina per a quin valor de $a$ el sistema és compatible.
- b) Per a aquest valor de $a$, resol el sistema i indica si la solució és única.
- c) Quina posició relativa ocupen els quatre plans definits per les equacions quan el sistema és compatible?
Gauss-Jordan: zeros pels dos costats
En una xarxa elèctrica intel·ligent, les intensitats de corrent $I_1, I_2, I_3$ i $I_4$ en quatre nodes compleixen les lleis de Kirchhoff següents, escalades per un…
En una xarxa elèctrica intel·ligent, les intensitats de corrent $I_1, I_2, I_3$ i $I_4$ en quatre nodes compleixen les lleis de Kirchhoff següents, escalades per un factor de resistència $R$:
$\begin{cases} I_1 + I_2 - I_3 + I_4 = 0 \\ 2I_1 - I_2 + I_3 = 5 \\ I_1 + I_3 - 2I_4 = 1 \\ 3I_1 + I_4 = 6 \end{cases}$
- a) Resol el sistema utilitzant el mètode de Gauss-Jordan (aconseguint el màxim nombre de zeros possible a la matriu).
- b) És el sistema compatible determinat? Justifica si és possible eliminar un dels mesuraments sense perdre informació sobre les intensitats.
Crear i verificar un algorisme d'eliminació
L'algorisme ha de funcionar també si el primer candidat a pivot és zero. Abans de dividir, busca una fila inferior amb entrada no nul·la en aquesta columna i intercanvia-la. Si tota la columna restant és zero, passa a la columna següent sense augmentar el nombre de pivots.
fila_pivote ← 0
para cada columna de coeficientes:
buscar desde fila_pivote una fila con entrada no nula
si no existe: continuar con la siguiente columna
intercambiar esa fila con fila_pivote
para cada fila inferior:
factor ← entrada / pivote
restar factor * fila_pivote a toda la fila (incluido B)
fila_pivote ← fila_pivote + 1
examinar filas nulas y términos independientes
Tria entre aquests desenllaços després d'eliminar:
*Única solució si hi ha n pivots als coeficients i cap fila incompatible. Amb menys de n pivots i sense incompatibilitat hi ha variables lliures.
Modifica el pseudocodi per convertir cada pivot en 1 i anul·lar també les entrades superiors: obtens Gauss-Jordan. Executa'l a mà o programa'l, compara el nombre d'operacions i contrasta les tres proves amb una eina de càlcul matricial. Lliura matrius intermèdies i comprova les solucions en les equacions originals. Amb dades decimals, selecciona preferentment el pivot de major valor absolut disponible i declara una tolerància per decidir què és aproximadament zero; els rangs exactes amb paràmetres requereixen casos algebraics separats.
Revisar el procés en equip
Rotau les tasques de disseny, execució, comprovació i explicació. Cada integrant prediu el tipus de solució abans de calcular. Si apareix una discrepància, localitzeu la primera fila diferent i reconstruïu l'operació sense atribuir l'error a la capacitat de ningú. Davant d'un bloqueig, anoteu què sabeu, separeu un cas senzill i demaneu una pista concreta. Lliureu un error corregit, l'estratègia que va ajudar a superar-lo i una alternativa proposada per un altre integrant. Compareu mètodes amb arguments, no per qui acaba primer.