Informació sobre la funció

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realitza un estudi previ dels seus elements bàsics determinant:

1. a) El domini de definició de la funció.

1. b) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.

1. c) L'existència de simetries (indica si és parella, imparella o no presenta simetria).

Determina el període de la funció trigonomètrica $f(x) = \sin(2x)$. A continuació, indica raonadament si la funció presenta algun tipus de simetria respecte de l'origen o de l'eix d'ordenades.

Donada la funció $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:

1. Les equacions de les seves asímptotes verticals i horitzontals.

2. La posició de la corba respecte d'aquestes asímptotes mitjançant l'estudi dels límits laterals i a l'infinit.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realitza un estudi de les seves branques infinites:

1. a) Comprova si té asímptotes verticals.

1. b) Comprova si té asímptotes horitzontals.

1. c) En cas de no tenir asímptota horitzontal, esbrina si té una asímptota obliqua i troba'n l'equació.

Considera la funció polinòmica $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Troba els intervals de concavitat i convexitat, així com les coordenades exactes dels seus punts d'inflexió. Utilitza el símbol $\cup$ per denotar els intervals on la funció és convexa (curvatura cap amunt) i $\cap$ per als intervals on és còncava (curvatura cap avall).

Un equip d'enginyers està monitorant la temperatura d'un component electrònic. L'evolució de la temperatura $T$ (en graus Celsius) respecte al temps $t$ (en minuts) ve donada per la funció:

$T(t) = \dfrac{40t + 100}{t + 2}$ amb $t \geq 0$

Es demana:

1. a) Trobar la temperatura inicial del component ($t=0$).

1. b) Determinar l'asímptota horitzontal de la funció i interpretar-ne el significat en el context del problema (temperatura a llarg termini).

Estudia la monotonia (intervals de creixement i decreixement) i calcula els extrems relatius (màxims i mínims) de la funció polinòmica següent:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Analitza la curvatura de la funció $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Per fer-ho:

1. Troba la segona derivada $f''(x)$.

2. Determina els intervals de concavitat ($\cup$) i convexitat ($\cap$).

3. Troba les abscisses dels punts d'inflexió.

Realitza un estudi complet de la monotonia i els extrems relatius de la funció racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina amb precisió els intervals de creixement i decreixement, així com les coordenades dels seus màxims i mínims si en té.

Es coneix la informació següent sobre una funció $f(x)$ contínua a tot $\mathbb{R}$:

• Talla l'eix $X$ en $x = -2$ i $x = 2$.

• Té un mínim relatiu en $(0, -4)$.

• És decreixent en $(-\infty, 0)$ i creixent en $(0, +\infty)$.

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Dibuixa un esbós de la gràfica que compleixi totes aquestes condicions. Per ajudar-te, aquí tens els eixos amb els punts que es coneixen; copia els eixos al teu paper i traça la corba.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es considera la funció $f(x) = \ln(x^2 + k)$, on $k$ és un paràmetre real.

1. a) Determina el valor de $k$ perquè la funció tingui un punt d'inflexió a $x = 1$.
2. b) Per a aquest valor de $k$, estudia el domini de la funció i comprova si presenta algun tipus de simetria (parell o senar).

La gràfica següent correspon a la funció derivada $f'(x)$ d'una funció contínua $f(x)$ definida a tot $\mathbb{R}$. A partir de la informació visual proporcionada:

1. Indica els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$.

2. Determina les abscisses dels extrems relatius de $f(x)$ classificant-los en màxims o mínims.

3. Estudia la curvatura de $f(x)$ i localitza els seus punts d'inflexió.

4. Si es sap que $f(0) = 1$, realitza un esborrany de la gràfica de la funció original $f(x)$ justificant la forma obtinguda.