Fins ara has sabut calcular àrees de triangles, trapezis o cercles perquè tenen fórmula. Però, quina és l'àrea de la regió que queda entre la corba $f(x)=x^2$, l'eix $OX$ i les rectes $x=0$ i $x=2$? No hi ha cap fórmula geomètrica per a aquesta forma. La integral definida neix exactament per resoldre aquest problema.
La idea és senzilla: si no saps calcular l'àrea exacta d'una forma corba, aproxima-la amb formes que sí saps calcular. Divideix l'interval $[a,b]$ en trossos estrets d'amplada $\Delta x$ i, en cada tros, aixeca un rectangle l'altura del qual sigui (aproximadament) el valor de $f(x)$ en aquell tros.
Com més rectangles facis servir (més estrets), menys "sobra" o "falta" entre l'escaló i la corba real, i la suma de les seves àrees s'acosta més a l'àrea veritable.
Quan $f$ és constant, els "rectangles" són tots iguals al propi recinte: no cal aproximar res, l'àrea és exacta des del primer rectangle.
Practica★☆☆Sense començar
En física, l'espai recorregut per un objecte es pot calcular com l'àrea sota la corba en una gràfica de velocitat respecte al temps. Si un patinador elèctric es mou amb…
En física, l'espai recorregut per un objecte es pot calcular com l'àrea sota la corba en una gràfica de velocitat respecte al temps. Si un patinador elèctric es mou amb una velocitat constant de $v(t) = 12$ km/h durant la primera mitja hora ($t = 0,5$ h), planteja i calcula la integral definida que representa la distància recorreguda en aquest temps.
Quan el nombre de rectangles creix sense límit ($n\to\infty$ i $\Delta x\to 0$), la suma de les seves àrees s'estabilitza en un nombre. Aquest nombre és la integral definida de $f$ entre $a$ i $b$.
Quan $f$ és sempre positiva a $[a,b]$, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ és exactament l'àrea entre la corba i l'eix $OX$. Si $f$ és una funció senzilla (una recta, per exemple), pots comprovar que la integral coincideix amb l'àrea calculada per geometria.
Practica★☆☆Sense començar
Considera la funció lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Es demana calcular l'àrea de la regió ombrejada en el gràfic, limitada per la funció, l'eix $OX$ i les rectes…
Considera la funció lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Es demana calcular l'àrea de la regió ombrejada en el gràfic, limitada per la funció, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 4$. Per a això:
Calcula el valor de l'àrea utilitzant fórmules geomètriques elementals (àrea d'un trapezi).
Calcula la integral definida $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ aplicant la regla de Barrow i comprova que tots dos resultats coincideixen.
Calcula el valor de la integral definida de la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en l'interval $[1, 2]$. És a dir, obtén el resultat de: $$\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x…
Calcula el valor de la integral definida de la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en l'interval $[1, 2]$. És a dir, obtén el resultat de:
Una suma de Riemann no sap distingir "a dalt" d'"a baix": si $f(x)<0$, cada rectangle té una altura negativa i la seva "àrea" entra a la suma amb signe negatiu.
Practica★☆☆Sense començar
Troba l'àrea del recinte pla limitat per la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 9$ i l'eix d'abscisses ($OX$).
Troba l'àrea del recinte pla limitat per la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 9$ i l'eix d'abscisses ($OX$).
Un túnel de rentat per a cotxes té una estructura metàl·lica la part superior de la qual segueix la forma de la paràbola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula l'àrea de la…
Un túnel de rentat per a cotxes té una estructura metàl·lica la part superior de la qual segueix la forma de la paràbola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula l'àrea de la superfície plana (frontal) limitada per l'estructura de la paràbola i el terra (eix $OX$), sabent que els punts de suport al terra són $x = -2$ i $x = 2$.
Funcions que canvien de signe: cal partir la integral
Si $f$ és positiva en una part de $[a,b]$ i negativa en una altra, la integral $\int_a^b f(x)\,dx$ barreja àrees positives i negatives i no dona l'àrea total de la regió ombrejada (les parts es poden cancel·lar). Per trobar l'àrea real, localitza primer els punts on $f$ talla l'eix $OX$ i separa la integral en tants trossos com canvis de signe hi hagi.
Practica★☆☆Sense començar
Calcula l'àrea total de la regió compresa entre la recta $f(x) = x - 2$, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 3$. Nota: Observa que la funció talla l'eix…
Calcula l'àrea total de la regió compresa entre la recta $f(x) = x - 2$, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 3$.
Nota: Observa que la funció talla l'eix $OX$ en un punt dins de l'interval donat, per la qual cosa hauràs de descompondre el recinte en dues subàrees.
Utilitza les propietats de la integral definida per resoldre el problema següent: Sabent que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ i que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula…
Utilitza les propietats de la integral definida per resoldre el problema següent:
Sabent que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ i que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula raonadament el valor de:
Determina l'àrea de la regió compresa entre la corba $f(x) = x^3 - 4x$ i l'eix $OX$ en l'interval $[-1, 2]$. Tingues en compte que la funció pot canviar de signe dins de…
Determina l'àrea de la regió compresa entre la corba $f(x) = x^3 - 4x$ i l'eix $OX$ en l'interval $[-1, 2]$. Tingues en compte que la funció pot canviar de signe dins de l'interval, per la qual cosa hauràs de descompondre la integral si és necessari.
Torna al principi: L'àrea exacta sota $f(x)=x^2$ entre $x=0$ i $x=2$ es calcula amb la integral definida $\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}\text{ u}^2$.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat