Probabilitat total i teorema de Bayes

En un torneig d'eSports, un jugador arriba a la final. Pot triar entre dues estratègies: Ofensiva (la tria el $70\%$ de les vegades) o Defensiva (el $30\%$). Si juga de forma ofensiva, guanya la partida amb una probabilitat de $0,6$, mentre que si juga de forma defensiva, la seva probabilitat de victòria és de $0,4$.

Sabent que el jugador ha guanyat la partida, calcula la probabilitat que hagi utilitzat una estratègia defensiva.

En un institut, els alumnes de 2n de Batxillerat poden triar entre dues plataformes per fer els seus treballs al núvol: el $65\%$ utilitza Google Workspace i la resta utilitza Microsoft 365. Es sap que el $20\%$ dels usuaris de Google utilitza eines d'Intel·ligència Artificial per redactar esborranys, mentre que a Microsoft ho fa el $15\%$.

Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar utilitzi Intel·ligència Artificial per als seus esborranys.

En un centre d'alt rendiment per a e-sports, els jugadors s'entrenen en tres plataformes diferents: PC, consola i dispositius mòbils. El $50\ \%$ dels jugadors utilitza PC, el $30\ \%$ utilitza consola i la resta dispositius mòbils. S'ha observat que el rendiment disminueix per fatiga visual en el $8\ \%$ dels jugadors de PC, en el $5\ \%$ dels de consola i en el $12\ \%$ dels que utilitzen mòbils.

1. a) Calcula la probabilitat que un jugador triat a l'atzar presenti fatiga visual.

1. b) Si seleccionem un jugador i veiem que pateix fatiga visual, quina és la probabilitat que s'entreni habitualment amb un dispositiu mòbil?

Un servei de streaming de música classifica els seus usuaris en tres categories: "Free" (amb anuncis), "Premium" i "Family". El $60\ \%$ són usuaris Free, el $30\ \%$ Premium i el $10\ \%$ Family. Es sap que el $80\ \%$ dels usuaris Free escolten més de 2 hores diàries, mentre que aquest percentatge és del $90\ \%$ per als Premium i del $95\ \%$ per als Family.

1. a) Triat un usuari a l'atzar, quina és la probabilitat que escolti música 2 hores o menys al dia?

1. b) Si seleccionem un usuari que escolta més de 2 hores diàries de música, quina és la probabilitat que pertanyi a la modalitat "Premium"?

Una empresa de ciberseguretat utilitza tres sistemes d'intel·ligència artificial ($S_1$, $S_2$ i $S_3$) per detectar intents d'accés no autoritzats en una xarxa corporativa. El sistema $S_1$ gestiona el $45 \%$ de les alertes, el $S_2$ el $35 \%$ i el $S_3$ la resta.

Se sap per auditories prèvies que, entre les alertes emeses per cada sistema, són falses alarmes (es dona com a atac un accés legítim) el $2 \%$ de les de $S_1$, el $5 \%$ de les de $S_2$ i el $8 \%$ de les de $S_3$. La resta de les alertes de cada sistema corresponen a atacs reals. D'altra banda, la probabilitat que un sistema ignori un atac real (fals negatiu) és de l'$1 \%$ en tots els casos; és una dada que no necessitaràs per a aquest problema.

En un moment determinat, salta una alerta al panell de control indicant un atac.

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre detallant les probabilitats de cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat que l'alerta emesa sigui realment una falsa alarma.

1. c) Si es confirma que l'alerta era una falsa alarma, quina és la probabilitat que hagi estat generada pel sistema $S_3$?

En un centre d'alt rendiment esportiu, els atletes es sotmeten a un control de dopatge. El $1 \%$ dels atletes consumeix una substància prohibida. El test utilitzat té una fiabilitat del $98 \%$ (probabilitat de donar positiu si s'ha consumit la substància). No obstant això, el test també produeix un $3 \%$ de "falsos positius" (donar positiu en atletes que no han consumit res).

1. a) Si un atleta dóna positiu en el control, quina és la probabilitat que realment hagi consumit la substància?
2. b) El comitè decideix fer un segon test independent al mateix atleta si el primer dóna positiu. Si aquest segon test (amb la mateixa fiabilitat) també resulta positiu, quina és la probabilitat ara que l'atleta sigui culpable? Justifica si la confiança en el veredicte ha augmentat significativament.

Un estudi sobre mobilitat sostenible en una ciutat indica que el $45\ \%$ dels trajectes es fan en transport públic, el $35\ \%$ en bicicleta o patinet elèctric i el $20\ \%$ en cotxe privat. S'estima que la probabilitat d'arribar tard a la feina és de 0,15 si s'utilitza transport públic, de 0,05 si s'utilitza bicicleta/patinet i de 0,30 si s'utilitza cotxe privat (a causa dels embussos).

1. a) Calcula la probabilitat que un ciutadà triat a l'atzar arribi puntual al seu lloc de treball.

1. b) Si sabem que un treballador ha arribat tard, quina és la probabilitat que hagi viatjat en el seu cotxe privat?

En un laboratori de biotecnologia es manipulen tres tipus de bacteris: $T_1$, $T_2$ i $T_3$. Hi ha un contenidor que conté 100 mostres: 20 de $T_1$, 30 de $T_2$ i 50 de $T_3$. La probabilitat que una mostra desenvolupi una resistència antibiòtica en 24 hores és de $0,2$ per a $T_1$, $0,4$ per a $T_2$ i un valor desconegut $p$ per a $T_3$.

S'extreu una mostra a l'atzar i s'observa que ha desenvolupat resistència després de 24 hores. Sabent que la probabilitat que aquesta mostra sigui del tipus $T_2$ és de $0,375$:

1. a) Determina el valor de la probabilitat $p$ associada als bacteris del tipus $T_3$.
2. b) Amb el valor de $p$ obtingut, calcula la probabilitat que, en triar una mostra a l'atzar, aquesta no desenvolupi resistència.

Tres màquines, $M_1$, $M_2$ i $M_3$, fabriquen peces de precisió. $M_1$ produeix el doble de peces que $M_2$, i $M_3$ produeix el mateix nombre que $M_1$ i $M_2$ juntes. El percentatge de peces defectuoses és del $2 \%$ per a $M_1$ i del $4 \%$ per a $M_2$.

Es sap que, en agafar una peça a l'atzar de la producció total, la probabilitat que sigui defectuosa és del $2,5 \%$.

1. a) Calcula el percentatge de peces defectuoses que produeix la màquina $M_3$.
2. b) Si agafem una peça i comprovem que és defectuosa, quina és la màquina que té més probabilitat d'haver-la fabricat?