Paral·lelisme i perpendicularitat entre rectes i plans en l'espai
Un enginyer ha de tendir un cable perpendicular a un panell, o comprovar que un carril és paral·lel al terra d'una fàbrica. En tots dos casos la pregunta és la mateixa: quina relació hi ha entre el vector director de la recta i el vector normal del pla? I si un objecte necessita conèixer la seva «ombra» sobre una superfície, l'eina és la projecció ortogonal, que sempre construiràs amb un pla auxiliar perpendicular.
Recta i pla: paral·lels o perpendiculars
Determina la posició relativa de la recta $r$ i el pla $\pi$ comprovant la relació entre els seus vectors característics. La recta ve donada per l'equació contínua…
Determina la posició relativa de la recta $r$ i el pla $\pi$ comprovant la relació entre els seus vectors característics. La recta ve donada per l'equació contínua $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ i el pla per l'equació general $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$.
- a) Escriu un vector director $\vec{v}_r$ de la recta i un vector normal $\vec{n}$ del pla.
- b) El vector director de la recta és paral·lel al vector normal del pla? Justifica la teva resposta.
- c) Justifica quina implicació geomètrica té aquest fet per a la posició relativa de $r$ i $\pi$.
Atès el punt $Q(3, -1, 4)$ i el pla $\alpha: 2x + y = 0$, troba l'equació de la recta $r$ que passa per $Q$ i és perpendicular al pla $\alpha$. Tingues una cura especial…
Atès el punt $Q(3, -1, 4)$ i el pla $\alpha: 2x + y = 0$, troba l'equació de la recta $r$ que passa per $Q$ i és perpendicular al pla $\alpha$. Tingues una cura especial en identificar les coordenades del vector normal del pla, prestant atenció a l'absència de la variable $z$.
Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ sigui paral·lela al pla $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Recorda que…
Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ sigui paral·lela al pla $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Recorda que perquè una recta i un pla siguin paral·lels, el producte escalar dels seus vectors característics ha de ser igual a zero.
Dos plans: paral·lels o perpendiculars
Comprova si el pla $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ i el pla $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ són paral·lels. Per a fer-ho, analitza si els seus vectors normals són…
Comprova si el pla $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ i el pla $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ són paral·lels. Per a fer-ho, analitza si els seus vectors normals són proporcionals. En cas de ser paral·lels, raona si són el mateix pla (coincidents) o si no tenen cap punt en comú.
Determina la posició relativa del pla $\pi: mx + y - z = 1$ i la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en funció del paràmetre real $m$.…
Determina la posició relativa del pla $\pi: mx + y - z = 1$ i la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en funció del paràmetre real $m$. Especifica per a quins valors són perpendiculars i per a quins la recta és paral·lela al pla.
Projecció ortogonal d'un punt
Un arquitecte està dissenyant una rampa que es modela com un pla $\pi$ d'equació general $x + y + z - 6 = 0$. Per a instal·lar un sensor d'il·luminació, necessita…
Un arquitecte està dissenyant una rampa que es modela com un pla $\pi$ d'equació general $x + y + z - 6 = 0$. Per a instal·lar un sensor d'il·luminació, necessita conèixer la projecció ortogonal del punt $P(1, 2, 5)$ sobre el dit pla. Calcula les coordenades del punt $Q$ que representa la dita projecció (anomenat el peu de la perpendicular).
Calcula les coordenades del punt $Q$, que és la projecció ortogonal del punt $P(3, -1, 5)$ sobre la recta $r$ definida per la següent equació contínua: $$r: \frac{x -…
Calcula les coordenades del punt $Q$, que és la projecció ortogonal del punt $P(3, -1, 5)$ sobre la recta $r$ definida per la següent equació contínua:
$$r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z}{3}$$Troba el punt $P'$ que representa la projecció ortogonal del punt $P(1, 0, -3)$ sobre el pla $\pi$ d'equació: $$\pi: 2x - 3y + z - 4 = 0$$
Troba el punt $P'$ que representa la projecció ortogonal del punt $P(1, 0, -3)$ sobre el pla $\pi$ d'equació:
$$\pi: 2x - 3y + z - 4 = 0$$Projecció d'una recta: el pla projectant
Es projecta la recta $r$, que passa pels punts $A(1, 0, 0)$ i $B(1, 1, 1)$, sobre el pla $\pi: x = 0$. 1. Troba la projecció ortogonal dels punts $A$ i $B$ sobre el pla.…
Es projecta la recta $r$, que passa pels punts $A(1, 0, 0)$ i $B(1, 1, 1)$, sobre el pla $\pi: x = 0$.
-
Troba la projecció ortogonal dels punts $A$ i $B$ sobre el pla.
-
Escriu l'equació de la recta projectada $r'$ que passa per aquests nous punts.
Obtén l'equació implícita del pla projectant de la recta $r$ sobre el pla $\pi$. Recorda que el pla projectant és el pla perpendicular a $\pi$ que conté la recta $r$.…
Obtén l'equació implícita del pla projectant de la recta $r$ sobre el pla $\pi$. Recorda que el pla projectant és el pla perpendicular a $\pi$ que conté la recta $r$.
$$r: \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad \pi: 2x + y - z = 5$$Investigació 3D: quan una projecció es converteix en un punt
En una eina de geometria 3D crea el pla $z=0$, el punt $A=(0,0,2)$ i la recta $r_a:(x,y,z)=(0,0,2)+t(a,0,1)$ amb un lliscador a que inclogui 0. Prediu què canvia quan a s'anul·la. Construeix dos punts de la recta i les seves projeccions ortogonals sobre el pla; gira la vista per distingir un creuament aparent d'una intersecció real.
Ara compara $r:(t,0,0)$ i $s:(0,u,h)$ amb un lliscador h. Per a $h=0$ es tallen a l'origen; per a $h\ne0$ són encreuades: igualar coordenades exigiria simultàniament $t=0$, $u=0$ i $h=0$. La seva distància és $|h|$. Lliura una taula de casos, dues captures i la prova; una sola perspectiva a la pantalla no demostra que les rectes es tallin.
Aquest esquema distingeix els dos tipus de projecció:
Torna al principi: Per tendir el cable perpendicular al panell necessites que el vector director de la recta sigui proporcional al normal del pla ($\vec v \parallel \vec n$); per comprovar que el carril és paral·lel al terra, els seus vectors han de ser perpendiculars ($\vec v \cdot \vec n = 0$).