Posicions relatives

Donades les rectes $r$ i $s$ expressades per les seves equacions paramètriques:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ i $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$

Estudia la posició relativa de totes dues comparant els seus vectors directors. Són paral·leles o tenen direccions diferents?

Donats els punts $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ i $C(3, 2, 1)$, determina la posició relativa de la recta que passa per $A$ i $B$ respecte a la recta que passa per $B$ i $C$. Es tracta de la mateixa recta (coincidents) o són rectes secants en el punt $B$?

Estudia la posició relativa de les rectes $r$ i $s$ següents. En cas que siguin secants, calcula les coordenades del punt de tall:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$

Un raig làser es propaga seguint la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ i incideix sobre una làmina de cristall plana l'equació de la qual és $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determina la posició relativa entre el raig làser i la làmina. En cas que es tallin, calcula les coordenades del punt d'impacte.

Comprova si la recta $r$, definida com la intersecció dels plans $x + y = 2$ i $x - y = 0$, és paral·lela al pla de coordenades $XY$ (el pla $z = 0$). Argumenta la teva resposta basant-te en el vector director de la recta.

Un arquitecte utilitza un programari de disseny per situar una biga estructural representada per la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina si la biga és perpendicular al pla de façana $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Justifica la teva resposta.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè els plans $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ i $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ siguin paral·lels. Per a aquest valor de $k$, podrien ser coincidents els plans? Justifica la teva resposta observant els termes independents.

Discuteix, en funció del paràmetre real $m$, la posició relativa dels tres plans següents:

$\pi_1: mx + y + z = 1$

$\pi_2: x + my + z = m$

$\pi_3: x + y + mz = m^2$

En un projecte de disseny industrial, es defineixen tres superfícies mitjançant els plans següents a l'espai:

$\pi_1: x + ay + z = a$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$

$\pi_3: x + y + z = 1$

Discuteix la posició relativa dels tres plans segons els diferents valors del paràmetre real $a$. En els casos en què els tres plans es tallin en una recta (formant un feix de plans), obtén l'equació paramètrica d'aquesta recta.