Angles entre rectes i plans a l'espai

Un arquitecte està dissenyant la coberta inclinada d'un pavelló esportiu. En el seu projecte, l'estructura de suport principal segueix la direcció de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, mentre que el terra del pavelló es troba sobre el pla horitzontal $\pi: z = 0$. Calcula l'angle que forma la biga de suport amb el terra.

Calcula l'angle que forma la recta $r$ que passa pels punts $A(1, 0, 1)$ i $B(2, 1, 2)$ amb el pla d'equació general $\pi: x + y + 1 = 0$.

Calcula l'angle agut que forma la recta $r$, que passa pels punts $A(1, 0, -2)$ i $B(3, -1, 1)$, amb el pla $\pi$ d'equació general $2x + y - 3z + 4 = 0$. Expressa el resultat en graus, minuts i segons.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sigui perpendicular al pla $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. Quin és l'angle que formen en aquest cas?

Donada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ i el pla $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina el valor del paràmetre real $k$ sabent que l'angle que formen la recta i el pla és de $30^\circ$.

Calcula el sinus de l'angle que forma la recta $r$, definida com la intersecció dels plans $\pi_1: x - y = 0$ i $\pi_2: y - z = 0$, amb el pla $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Sugeriment: Obtén primer el vector director de la recta $r$ mitjançant el producte vectorial dels normals de $\pi_1$ i $\pi_2$).

Troba l'angle que forma la recta $r$, definida com la intersecció dels plans $\pi_1 \equiv x - y = 0$ i $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, amb el pla $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

S'ha instal·lat un panell solar representat pel pla $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Es sap que el panell passa pel punt $P(1, 2, 1)$ i que per maximitzar la seva eficiència ha de formar un angle de $60^\circ$ amb l'eix $OZ$ (la vertical).

Calcula els possibles valors del paràmetre $a$ (suposa $a > 0$).

Calcula l'angle que forma la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ amb cadascun dels plans coordenats. Sumen $180^\circ$ aquests tres angles? Justifica la teva resposta utilitzant els conceptes de vectors directors i normals.