Àlgebra de matrius amb determinants

Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 és $|A| = -2$, utilitza les propietats dels determinants per calcular, de forma raonada, el valor dels següents determinants:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3A^{-1}|$

1. c) El determinant de la matriu resultant de multiplicar la primera fila de $A$ per $5$, intercanviar la segona i la tercera files, i transposar la matriu.

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, calcula:

1. a) El determinant de $A$ mitjançant la regla de Sarrus.

1. b) La matriu d'adjunts $\text{Adj}(A)$.

1. c) Comprova que es compleix la propietat $A \cdot \text{Adj}(A)^t = |A| \cdot I$, on $I$ és la matriu identitat d'ordre 3.

Es considera la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determina els valors del paràmetre $m$ per als quals la matriu $A$ té inversa.

1. b) Per a $m = 2$, resol l'equació matricial $X \cdot A - 2 \cdot Adj(A) = |A| \cdot I$, on $Adj(A)$ és la matriu adjunta de $A$ i $I$ és la matriu identitat.

Suggeriment: Utilitza la relació fonamental entre una matriu i la seva adjunta: $A \cdot (Adj(A))^t = |A| \cdot I$.

Donada la matriu $M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Determina els valors del paràmetre real $k$ per als quals la matriu $M$ és singular (no té inversa).

1. b) Per al valor $k = 0$, calcula la matriu inversa $M^{-1}$ utilitzant el mètode de la matriu adjunta.

En un sistema de control de trànsit aeri, la posició de tres drons en un instant donat ve definida per les columnes d'una matriu $P$. En el model simplificat que s'utilitza, es considera que la configuració és segura només si el determinant de $P$ no s'anul·la. Donada la matriu:

$$P(k) = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Calcula els valors de $k$ per als quals els drons estarien en una configuració "crítica" (determinant nul).

1. b) Per a $k = 0$, comprova si la matriu és invertible i, en cas afirmatiu, troba la seva inversa $P^{-1}$ mitjançant el mètode de la matriu adjunta.

1. c) Demostra que per a qualsevol valor de $k \neq 1$ i $k \neq -2$, es compleix que $P(k)$ és regular.

Resol la següent equació matricial per trobar la matriu incògnita $X$:

$A \cdot X = B$

On:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

(Recorda: $X = A^{-1} \cdot B$. Has de calcular primer $A^{-1}$).

Resol el sistema d'equacions matricials per trobar les matrius $X$ i $Y$:

$\begin{cases} 2X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$

Un cop trobades, calcula el determinant de la matriu producte $X \cdot Y$.

Resol el següent sistema d'equacions matricials per a les matrius incògnites $X$ i $Y$:

$$\begin{cases} 2X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$

on les matrius de coeficients són:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Una vegada trobades $X$ i $Y$:

1. a) Calcula $|X \cdot Y|$ i $|X + Y|$.
2. b) Determina si la matriu producte $X \cdot Y$ és invertible utilitzant el seu determinant.

Es sap que una matriu quadrada $B$ verifica l'equació $B^2 - 3B + 2I = O$, on $I$ és la matriu identitat i $O$ és la matriu nul·la.

1. a) Demostra que $B$ és una matriu regular (té inversa) i expressa $B^{-1}$ en funció de $B$ i $I$.

1. b) Si $B$ és d'ordre 2 i el seu determinant és $|B| = 2$, quin és el determinant de la matriu adjunta de $B$, $|\text{Adj}(B)|$?

Siguin $A$ i $B$ dues matrius quadrades d'ordre 3 tals que $|A| = 2$ i $|B| = -1$. Calcula, justificant cada pas amb les propietats dels determinants, el valor dels següents determinants:

1. a) $|(A^t \cdot B)^{-1}|$

1. b) $|3 \cdot A^2 \cdot Adj(B)|$

1. c) Si sabem que una matriu $C$ verifica que $C^2 = C$ (matriu idempotent), demostra que el seu determinant només pot ser 0 o 1.

Una empresa de components electrònics fabrica tres tipus de circuits: $C_1$, $C_2$ i $C_3$. El cost de producció de cada circuit ve determinat pel determinant de la matriu de materials $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$

1. a) Sabent que $x$, $y$ i $z$ representen les quantitats de silici, coure i estany respectivament, demostra que el determinant d'aquesta matriu (Vandermonde) és $(y-x)(z-x)(z-y)$.

1. b) Si per a un circuit concret les quantitats són $x=1$, $y=2$ i $z=4$, és invertible la matriu $M$? Justifica la teva resposta fent servir el resultat de l'apartat anterior.

Es considera la matriu d'ordre 4 dependent del paràmetre real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k & 1 \\ k & k & k & k^2 \end{pmatrix}$$

Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, realitza les següents tasques:

1. a) Troba el valor del determinant de $M$ en funció de $k$, presentant el resultat de forma factoritzada.

1. b) Determina els valors de $k$ per als quals la matriu $M$ no té inversa.

1. c) Per al cas $k = 2$, calcula el valor del determinant de la matriu adjunta de $M$, és a dir, $|Adj(M)|$, sense calcular explícitament els elements de la matriu adjunta esmentada.

Considera la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula el determinant de $A$ en funció del paràmetre $m$.

1. b) Determina el rang de la matriu $A$ segons els valors de $m$.

Estudia el rang de la matriu $A$ segons els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$$

Per realitzar l'estudi, utilitza el mètode dels menors orlats i raona detalladament sota quines condicions el rang és 1, 2 o 3.