Funcions de variable real (repàs)

Determina el domini de definició de les funcions de variable real següents basant-te en les restriccions de les operacions que les formen:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$

1. b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$

1. c) $h(x) = \ln(x - 1)$

Classifica les funcions següents segons el seu tipus (polinòmica, racional, irracional, exponencial o logarítmica):

1. a) $f(x) = 3^x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$

1. c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$

1. d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$

1. e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$

Una empresa de telefonia ofereix un pla de dades on els primers $10$ GB costen $15$ € fixos. A partir d'aquí, cada GB extra es cobra a $2$ €. La funció que representa el cost total $C(x)$ en funció dels GB consumits $x$ és:

$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Estudia si la funció és contínua en el punt crític $x = 10$.

Donada la funció amb valor absolut $f(x) = |x - 3|$, representa-la com una funció definida a trossos i calcula el seu valor per a $x = 0$ i $x = 5$.

Un nou servei de transmissió en directe de videojocs aplica una tarifa mensual basada en el consum de dades d'alta velocitat. Els primers $20$ GB estan inclosos en una quota fixa de $15$ €. A partir d'aquí, el preu per cada GB addicional augmenta de forma lineal segons la funció $P(x) = 15 + 0,5(x - 20)$, on $x$ és el nombre total de GB consumits.

Tanmateix, si l'usuari supera els $100$ GB, l'empresa aplica una penalització per excés de tràfic i la funció passa a ser $P(x) = 0,1x^2 - 45$.

Escriu l'expressió analítica de la funció cost total $C(x)$ com una funció definida a trossos i comprova si el preu "salta" o és continu just en el moment de consumir $100$ GB.

Donades les funcions $f(x) = x + 3$ i $g(x) = x^2 - 1$, realitza les operacions següents i determina el domini de la funció resultant:

1. a) $(f + g)(x)$

1. b) $(f \cdot g)(x)$

1. c) $(\frac{f}{g})(x)$

Considera les funcions $f(x) = \sqrt{x + 2}$ i $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

1. Troba l'expressió de la funció composta $(g \circ f)(x)$.

2. Determina el domini de $(g \circ f)(x)$.

3. Coincideix aquest domini amb el de la funció $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Justifica la teva resposta.

Troba la funció inversa $f^{-1}(x)$ de la funció $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica el domini i el recorregut de totes dues funcions i comprova gràficament la seva simetria respecte de la bisectriu del primer quadrant.

Estudia la simetria (parella, senar o asimètrica) de les funcions següents justificant els passos mitjançant el càlcul de $f(-x)$:

1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

2. $g(x) = x \cdot \cos(x)$

3. $h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Funció cosinus hiperbòlic)

Es considera la família de funcions $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ on $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.

1. Demostra que per a qualsevol valor de $k$, la funció és parella.

2. Determina els punts de tall amb els eixos en funció de $k$.

3. Troba el valor de $k$ perquè la funció prengui el valor $y = 1/2$ quan $x = 3$.

4. Discuteix si existeix algun valor de $k$ per al qual la funció tingui asímptotes verticals.

Tota funció $f(x)$ es pot descompondre, en els punts $x$ en què existeixen $f(x)$ i $f(-x)$, de forma única com la suma d'una funció parella $g(x)$ i una funció senar $h(x)$, de tal manera que:

Donada la funció $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, troba les seves components parella i senar. Comprova analíticament que, efectivament, $g(x)$ és una funció parella i $h(x)$ és una funció senar. Quins són els dominis de cadascuna d'aquestes tres funcions?