A 1r ja saps comparar graus de polinomis i de funcions racionals quan $x\to\pm\infty$. Ara el repte és més fi: comparar infinits de naturalesa diferent (una exponencial contra un polinomi, un logaritme contra una arrel) i resoldre indeterminacions que ja no s'arreglen només mirant graus.
A la PAU aquestes regles gairebé sempre vénen amb un paràmetre desconegut que cal aïllar a partir d'una condició sobre el límit.
Practica★☆☆Sense començar
Determina el valor dels límits següents basant-te en la comparació dels graus dels polinomis: a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$ b)…
Determina el valor dels límits següents basant-te en la comparació dels graus dels polinomis:
Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcula els valors dels paràmetres reals $a$ i $k$ sabent que la funció té una asímptota horitzontal…
Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcula els valors dels paràmetres reals $a$ i $k$ sabent que la funció té una asímptota horitzontal en $y = 3$ i que la seva gràfica passa pel punt $(1, -2)$. Una vegada trobats, comprova si el límit quan $x \to -\infty$ coincideix amb el límit quan $x \to +\infty$.
Jerarquia d'infinits: exponencial, polinomi i logaritme
Quan $x\to+\infty$, no tots els «infinits» creixen igual de ràpid. Hi ha un ordre fix que convé memoritzar: si dividim el que creix més ràpid entre el que creix més a poc a poc, el límit és $+\infty$; al revés, és $0$.
Practica★☆☆Sense començar
Donades les funcions $f(x) = 2^x$ i $g(x) = x^{10} + 500x^2$, raona quina de les dues funcions creix més ràpidament quan $x \to +\infty$ utilitzant l'escala d'infinits.…
Donades les funcions $f(x) = 2^x$ i $g(x) = x^{10} + 500x^2$, raona quina de les dues funcions creix més ràpidament quan $x \to +\infty$ utilitzant l'escala d'infinits. A partir de la teva resposta, dedueix el valor del límit següent:
Donades les funcions $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ i $h(x) = \ln(x)$, ordena els límits següents de menor a major valor segons l'ordre de magnitud dels infinits…
Donades les funcions $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ i $h(x) = \ln(x)$, ordena els límits següents de menor a major valor segons l'ordre de magnitud dels infinits involucrats quan $x \to +\infty$:
El nombre $e$ com a límit: indeterminació $1^\infty$
Hi ha un límit especial que apareix una vegada i una altra en estudiar creixements (interès compost, poblacions, desintegració): una base que tendeix a $1$ elevada a un exponent que tendeix a $\infty$. Aquesta forma, $1^\infty$, és indeterminada i es resol amb el nombre $e$.
Practica★☆☆Sense començar
Completa la taula de valors següent per a la funció $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ i utilitza els resultats obtinguts per conjecturar cap a quin nombre famós…
Completa la taula de valors següent per a la funció $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ i utilitza els resultats obtinguts per conjecturar cap a quin nombre famós tendeix la funció quan $x$ es fa molt gran.
$x$
$10$
$100$
$1000$
$10000$
$f(x)$
$2,5937$
$2,7048$
$2,7169$
$2,7181$
Escriu el resultat utilitzant la notació de límits:
Determina el valor del límit següent utilitzant la relació amb el nombre $e$. Has de transformar l'expressió perquè aparegui la forma de la definició d'aquesta constant:…
Determina el valor del límit següent utilitzant la relació amb el nombre $e$. Has de transformar l'expressió perquè aparegui la forma de la definició d'aquesta constant:
Arrels: la tècnica del conjugat per a $\infty-\infty$
Quan apareix una resta d'arrels que, per separat, tendeixen totes dues a $+\infty$ o totes dues a $-\infty$, no pots restar directament: cal multiplicar i dividir pel conjugat per convertir la resta en un quocient.
Practica★★☆Sense començar
Resol el límit següent que involucra una diferència de funcions irracionals. Recorda utilitzar la tècnica del conjugat per desfer la indeterminació de tipus…
Resol el límit següent que involucra una diferència de funcions irracionals. Recorda utilitzar la tècnica del conjugat per desfer la indeterminació de tipus $[\infty - \infty]$:
Estudia el límit a l'infinit negatiu de la funció racional següent que conté un valor absolut i una arrel quadrada: $$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 + 5x}}{2x - 7}$$…
Estudia el límit a l'infinit negatiu de la funció racional següent que conté un valor absolut i una arrel quadrada:
És a dir, calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Tingues especial cura amb el signe de la variable $x$ en introduir o extreure factors de l'arrel quadrada i en desfer el valor absolut.
Calcula el límit de la successió de funcions donada per la següent arrel niada: $$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$ Aquest…
Calcula el límit de la successió de funcions donada per la següent arrel niada:
Torna al principi: Per comparar un logaritme contra una arrel com $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$, escriu l'arrel com a potència $x^{0{,}5}$; per l'escala d'infinits ($n=0{,}5>0$), la potència supera el logaritme i el límit és $0$.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat