Inversa d'una matriu amb determinants

En un videojoc d'estratègia, les coordenades de transformació d'una unitat es gestionen mitjançant la matriu $B$:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Troba la matriu adjunta, $Adj(B)$, i comprova si la matriu $B$ admet matriu inversa calculant prèviament el seu determinant.

Calcula la matriu inversa $A^{-1}$ de la següent matriu utilitzant el mètode dels determinants:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Recorda que la fórmula és $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Un enginyer està dissenyant un sistema de control automàtic. Perquè el sistema sigui estable, la matriu de coeficients $M$ no ha de ser singular (el seu determinant ha de ser diferent de zero). Donada la matriu:

$M = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$

Determina per a quins valors del paràmetre real $m$ la matriu $M$ és singular i, per tant, el sistema no tindria inversa.

Donada la matriu $A$ dependent del paràmetre real $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{pmatrix}$$

1. a) Determina de forma raonada per a quins valors de $k$ la matriu $A$ no té matriu inversa.
2. b) Per al cas $k = 0$, calcula la matriu inversa $A^{-1}$ utilitzant el mètode dels adjunts.

Considera la matriu $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Troba el polinomi $P(x) = |A|$.
2. b) Determina els valors de $x$ per als quals $A$ no té inversa.
3. c) Per als valors de $x$ en què $A$ és invertible, troba l'expressió de $A^{-1}$ en funció de $x$.
4. d) Comprova que per a $x=0$, es compleix que $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 3I)$.

Es sap que el determinant d'una matriu quadrada $X$ d'ordre 3 és $|X| = -4$. Sense calcular els elements de les matrius, obtén el valor dels següents determinants:

• a) $|X^{-1}|$

• b) $|X^2|$

• c) $|X \cdot X^t|$

Siguin $A$ i $B$ dues matrius quadrades d'ordre 3 tals que $|A| = 2$ i $|B| = -3$. Utilitzant les propietats dels determinants, calcula el valor dels següents determinants:

1. a) $|A^t \cdot B|$
2. b) $|(2A)^{-1}|$
3. c) $|A \cdot B^{-1} \cdot A^2|$
4. d) $|B \cdot adj(B)|$ (Recorda la relació entre una matriu, la seva adjunta i el seu determinant).

Resol l'equació matricial $A \cdot X = B$, on:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Per a fer-ho, calcula primer la inversa de $A$ mitjançant determinants i aïlla la matriu $X$.

Resol la següent equació matricial $X \cdot A + B = C$, on:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Justifica prèviament per què és possible trobar la matriu inversa de $A$ i aïlla la incògnita $X$ abans de fer els càlculs numèrics.