Quan una regió plana gira al voltant d'un eix, genera un sòlid a l'espai: un rectangle que gira dona un cilindre, un triangle rectangle dona un con, un semicercle dona una esfera. La integral definida et permet calcular el volum de qualsevol sòlid d'aquest tipus, no només dels que tenen una fórmula coneguda.
Igual que aproximaves una àrea amb rectangles, ara aproximes un volum amb discos (cilindres molt prims) apilats. Cada disc, a l'altura $x$, té radi $f(x)$ i gruix $dx$: el seu volum és $\pi [f(x)]^2\,dx$. Sumant (integrant) tots els discos entre $a$ i $b$ obtens el volum total.
Practica★☆☆Sense començar
La regió sota la corba $y = \sqrt{x}$ entre $x = 0$ i $x = 4$ gira al voltant de l'eix $OX$, com es mostra a la figura. Planteja la integral…
La regió sota la corba $y = \sqrt{x}$ entre $x = 0$ i $x = 4$ gira al voltant de l'eix $OX$, com es mostra a la figura.
Planteja la integral $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ corresponent i calcula el volum del sòlid de revolució generat, expressant el resultat en funció de $\pi$.
Abans d'aplicar-lo a corbes noves, comprova'l amb les figures de sempre: si la «corba» que gira és una recta horitzontal, obtens un cilindre; si és una recta obliqua pel zero, un con; si és una semicircumferència, una esfera. El resultat de la integral ha de coincidir amb la fórmula geomètrica.
Practica★☆☆Sense començar
La funció constant $f(x) = 2$ entre $x = 0$ i $x = 5$ gira al voltant de l'eix $OX$. a) Calcula el volum del sòlid generat mitjançant la integral…
La funció constant $f(x) = 2$ entre $x = 0$ i $x = 5$ gira al voltant de l'eix $OX$.
a) Calcula el volum del sòlid generat mitjançant la integral $V = \pi \int_{0}^{5} [f(x)]^2 \, dx$.
b) Quin cos geomètric s'ha generat? Comprova el resultat amb la fórmula del volum d'aquest cos.
La semicircumferència $y = \sqrt{9 - x^2}$ gira al voltant de l'eix $OX$. a) Quin cos geomètric es genera i entre quins límits s'ha d'integrar? b) Calcula el seu volum…
La semicircumferència $y = \sqrt{9 - x^2}$ gira al voltant de l'eix $OX$.
a) Quin cos geomètric es genera i entre quins límits s'ha d'integrar?
b) Calcula el seu volum amb la integral corresponent.
c) Comprova el resultat amb la fórmula $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
El segment de la recta $y = x$ comprès entre $x = 0$ i $x = 3$ gira al voltant de l'eix $OX$ generant un cone. a) Calcula el seu volum mitjançant la integral…
El segment de la recta $y = x$ comprès entre $x = 0$ i $x = 3$ gira al voltant de l'eix $OX$ generant un cone.
a) Calcula el seu volum mitjançant la integral $V = \pi \int_{0}^{3} x^2 \, dx$.
b) Identifica el radi i l'altura del cone i comprova el resultat amb la fórmula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
L'error típic en un examen és escriure $V=\pi\int f(x)\,dx$ en lloc de $V=\pi\int [f(x)]^2\,dx$. Sembla un detall, però canvia completament el resultat: sense el quadrat, el que es calcula és $\pi$ vegades una àrea, no un volum.
Practica★★★Sense començar
Marcos ha calculat així el volum del sòlid que genera la regió sota la corba $y = x^2 + 1$ entre $x = -1$ i $x = 1$ en girar al voltant de l'eix $OX$: «…
Marcos ha calculat així el volum del sòlid que genera la regió sota la corba $y = x^2 + 1$ entre $x = -1$ i $x = 1$ en girar al voltant de l'eix $OX$:
Si la regió que gira és entre dues corbes $f(x)\ge g(x)$ (no entre una corba i l'eix), cada secció transversal ja no és un disc massís sinó un anell («arandela»): un cercle gran de radi $f(x)$ amb un forat de radi $g(x)$.
Practica★★☆Sense començar
La regió tancada entre la paràbola $y = x^2$ i la recta $y = x$, ombrejada a la figura, gira al voltant de l'eix $OX$ generant un sòlid buit. a) Troba els punts de tall…
La regió tancada entre la paràbola $y = x^2$ i la recta $y = x$, ombrejada a la figura, gira al voltant de l'eix $OX$ generant un sòlid buit.
a) Troba els punts de tall de totes dues corbes.
b) Planteja el volum com una diferència de dues integrals (mètode de la volandera) i calcula'l.
Si el gir és al voltant de l'eix $OY$ en lloc de $OX$, la lògica és idèntica però amb els papers de $x$ i $y$ intercanviats: aïlla $x$ en funció de $y$ i els discos ara s'apilen «en vertical».
Practica★★☆Sense començar
Un embut cònic de laboratori s'obté en fer girar la recta $y = 2x$, amb $0 \le x \le 2$, al voltant de l'eix $OY$, com es mostra a la figura (mesures en decímetres). a)…
Un embut cònic de laboratori s'obté en fer girar la recta $y = 2x$, amb $0 \le x \le 2$, al voltant de l'eix $OY$, com es mostra a la figura (mesures en decímetres).
a) Expressa $x$ en funció de $y$ i planteja la integral $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$ que dóna el volum, indicant els límits d'integració.
b) Calcula el volum de l'embut.
c) Comprova el resultat aplicant la fórmula del volum del con, $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, identificant el radi i l'altura de l'embut.
La tobera d'un motor d'aeromodelisme és una peça la paret exterior de la qual segueix el perfil de la hipèrbola $y = \frac{2}{x}$ entre $x = 1$ i $x = 4$ (mesures en…
La tobera d'un motor d'aeromodelisme és una peça la paret exterior de la qual segueix el perfil de la hipèrbola $y = \frac{2}{x}$ entre $x = 1$ i $x = 4$ (mesures en centímetres), en girar al voltant de l'eix $OX$.
a) Calcula el volum de material necessari per fabricar la peça, suposant que és macissa entre l'eix i el perfil.
b) Si el material té una densitat de $2,5\ \text{g/cm}^3$, quina és la massa de la peça? Arrodoneix a les dècimes de gram.