Sistemes amb paràmetres
Has vist Rouché-Frobenius, Cramer i Gauss per separat. Discutir un sistema amb paràmetre és on els tres es troben: calcules $|A|$ per localitzar els valors "especials" del paràmetre, uses Gauss o els menors per trobar els rangs en aquests valors, i Cramer per resoldre quan el sistema sigui determinat. És el tipus d'exercici més llarg de tot el bloc, i un dels favorits de l'EvAU.
El pla de discussió
En una plataforma de streaming, el preu de tres tipus de subscripcions (Bàsica, Estàndard i Premium) varia segons una promoció mensual representada pel paràmetre $k$. El…
En una plataforma de streaming, el preu de tres tipus de subscripcions (Bàsica, Estàndard i Premium) varia segons una promoció mensual representada pel paràmetre $k$. El sistema d'equacions que relaciona el nombre d'usuaris de cada tipus amb els ingressos totals és:
$$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ x + ky + z = 12 \\ x + y + kz = 14 \end{cases}$$Discuteix la compatibilitat del sistema segons els valors del paràmetre real $k$.
Valors especials: SCI o SI, mai tots dos
Determina per a quin valor del paràmetre $a$ el sistema d'equacions lineals següent és incompatible: $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + 4y = 1 \end{cases}$$ Justifica la…
Determina per a quin valor del paràmetre $a$ el sistema d'equacions lineals següent és incompatible:
$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + 4y = 1 \end{cases}$$Justifica la teva resposta analitzant la proporcionalitat dels coeficients i dels termes independents.
Es considera el sistema d'equacions següent dependent del paràmetre real $k$: $\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$ a) Discute…
Es considera el sistema d'equacions següent dependent del paràmetre real $k$:
$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$
- a) Discute el sistema segons els valors del paràmetre $k$.
- b) Resol el sistema en el cas que sigui compatible indeterminat.
Sistemes homogenis amb paràmetre
Es considera el sistema d'equacions homogeni següent, on $m$ és un paràmetre real: $$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my + z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$ a)…
Es considera el sistema d'equacions homogeni següent, on $m$ és un paràmetre real:
$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my + z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$- a) Calcula el determinant de la matriu de coeficients $A$.
- b) Per a quins valors de $m$ el sistema té solucions diferents de la trivial $(0, 0, 0)$?
Resoldre el cas compatible indeterminat
Quan el sistema és SCI, la solució general s'expressa amb $n-rg(A)$ paràmetres. En molts problemes, a més, et demanaran una solució particular que compleixi alguna condició addicional (per exemple, que les components sumin un valor donat).
Donat el sistema homogeni: $\begin{cases} ax + y + 3z = 0 \\ x + ay + 2z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$ 1. Determina els valors de $a$ per als quals el sistema admet…
Donat el sistema homogeni:
$\begin{cases} ax + y + 3z = 0 \\ x + ay + 2z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$
-
Determina els valors de $a$ per als quals el sistema admet solucions diferents de la trivial.
-
Per al valor més gran de $a$ trobat en l'apartat anterior, obtén la solució general i troba una solució particular tal que la suma de les seves components sigui $10$.
-
Si $a=0$, descriu geomètriament el conjunt de solucions.
Es considera el sistema d'equacions lineals següent dependent del paràmetre real $k$: $\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$ Es…
Es considera el sistema d'equacions lineals següent dependent del paràmetre real $k$:
$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$
Es demana:
-
Discutir el sistema segons els diferents valors del paràmetre $k$.
-
Resoldre el sistema en els casos en què sigui compatible indeterminat, expressant la solució de forma paramètrica.
-
En el cas que el sistema sigui compatible determinat, existeix algun valor de $k$ per al qual la solució sigui $(x, y, z) = (1, 1, 1)$? Justifica la teva resposta.