Propietats de la probabilitat

En una urna hi ha boles numerades. Siguin els successos $A$ = "treure un nombre parell" i $B$ = "treure un nombre senar menor que 5". Si coneixem que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ i que els successos són incompatibles, calcula la probabilitat de la unió $P(A \cup B)$.

Un estudi sobre hàbits digitals revela que la probabilitat que un adolescent utilitzi una xarxa social de microblogging és $P(S) = 0,72$.

Calcula la probabilitat del succés contrari, és a dir, la probabilitat que un adolescent triat a l'atzar no utilitzi aquesta xarxa social.

Utilitzant les lleis de De Morgan, calcula la probabilitat que no ocorri ni el succés $A$ ni el succés $B$ (és a dir, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabent que la probabilitat de la unió és $P(A \cup B) = 0,84$.

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ dels usuaris joves estan subscrits al Pla de Música ($M$) i el $40\ \%$ estan subscrits al Pla de Vídeo ($V$). Es sap a més que el $25\ \%$ dels usuaris gaudeixen de tots dos plans simultàniament.

Calcula la probabilitat que un usuari triat a l'atzar estigui subscrit a algun dels dos plans (música o vídeo).

Siguin $A$ i $B$ dos successos tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cup B) = 0,7$. Determina si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles justificant la teva resposta mitjançant el càlcul de $P(A \cap B)$.

En un estudi sobre el consum de contingut digital en una classe de 2n de Batxillerat, es sap que la probabilitat que un alumne utilitzi habitualment TikTok (succés $A$) és $0,65$, la probabilitat que utilitzi Instagram (succés $B$) és $0,70$ i la probabilitat que no utilitzi cap de les dues xarxes socials és $0,15$.

Utilitzant les propietats de la probabilitat, calcula:

1. a) La probabilitat que un alumne, triat a l'atzar, utilitzi totes dues xarxes socials.
2. b) La probabilitat que en utilitzi només una de les dues.
3. c) Són els successos $A$ i $B$ independents? Justifica la teva resposta.

En un centre esportiu, el $60\%$ dels inscrits practica entrenament de força (succés $F$) i el $45\%$ practica ioga (succés $Y$). Se sap a més que el $20\%$ dels que practiquen força també estan inscrits a ioga.

Construeix una taula de contingència o un diagrama de Venn per respondre les qüestions següents:

1. a) Probabilitat que un soci triat a l'atzar no practiqui ni força ni ioga.

1. b) Si sabem que un soci practica ioga, quina és la probabilitat que no practiqui força?

1. c) Són els successos "practicar força" i "practicar ioga" independents?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori. Es sap que $P(A) = 0,6$ i $P(B) = 0,7$.

Basant-te en els axiomes de Kolmogorov, demostra que:

1. El valor mínim possible per a $P(A \cap B)$ és $0,3$.

2. El valor màxim possible per a $P(A \cap B)$ és $0,6$.

3. Si s'afegeix un tercer succés $C$ tal que $P(C) = 0,8$, quin és el valor mínim de la probabilitat que ocorrin tots tres successos alhora, $P(A \cap B \cap C)$? Justifica la teva resposta utilitzant la desigualtat de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.