Propietats de les funcions derivables. Teoremes de Rolle, del valor mitjà i de Cauchy

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, comprova si es compleixen les hipòtesis del Teorema de Rolle en l'interval $[2, 4]$. En cas afirmatiu, troba el valor del punt $c \in (2, 4)$ l'existència del qual assegura el teorema.

Considera la funció $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè la funció compleixi la condició $f(1) = f(5)$ i es pugui aplicar el Teorema de Rolle en l'interval $[1, 5]$. Un cop trobat $k$, calcula el valor de $c$ on la derivada s'anul·la.

Considera la funció $f(x) = x^2 - x$ en l'interval $[0, 2]$. A la figura apareixen la seva gràfica i la recta secant que passa pels punts $A$ i $B$ de la gràfica d'abscisses $0$ i $2$.

1. a) Comprova que es compleixen les hipòtesis del Teorema del Valor Mitjà (de Lagrange) a $[0, 2]$ i calcula el pendent de la recta secant $AB$.

1. b) Troba el valor del punt $c \in (0, 2)$ l'existència del qual garanteix el teorema.

1. c) Explica gràficament quina relació té la recta tangent a la gràfica en el punt d'abscissa $c$ amb la recta secant $AB$.

Un corredor de marató entrena en una pista recta. La seva posició (en metres) respecte al punt de sortida ve donada per la funció $s(t) = t^2 + 2t$, on $t$ és el temps en segons. Utilitza el Teorema del Valor Mitjà per demostrar que en algun instant entre $t=1$ i $t=4$ segons, la seva velocitat instantània va ser exactament igual a la seva velocitat mitjana en aquest interval. Calcula aquest instant.

Un radar de tram en una autovia espanyola detecta que un vehicle entra al túnel de Guadarrama (punt $A$) a les 14:00:00 h i en surt (punt $B$) a les 14:01:30 h. La distància entre tots dos punts de control és de 3,5 km.

Si el límit de velocitat al túnel és de $120 \text{ km/h}$, utilitza el Teorema del Valor Mitjà de Lagrange per justificar si el conductor hauria de rebre una multa per excés de velocitat, independentment de si la seva velocitat a l'entrada i a la sortida era legal.

Dades les funcions $f(x) = x^2 + 1$ i $g(x) = 2x - 3$, comprova si es compleixen les condicions del Teorema de Cauchy en l'interval $[1, 3]$. En cas afirmatiu, troba el valor de $c \in (1, 3)$ tal que:

Aplica el Teorema de Cauchy a les funcions $f(x) = \sin(x)$ i $g(x) = \cos(x)$ en l'interval $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$, és a dir, amb $a = 0$ i $b = \frac{\pi}{2}$. Troba el valor de $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ que satisfà la igualtat:

Explica la interpretació geomètrica d'aquest resultat en termes de la corba paramètrica $t \mapsto (g(t), f(t))$, amb $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. A la figura apareixen aquesta corba, els seus extrems $A = (g(a), f(a))$ i $B = (g(b), f(b))$, la recta secant $AB$ i els increments $g(b)-g(a)$ i $f(b)-f(a)$.

Utilitza els teoremes de Bolzano i de Rolle per demostrar que l'equació:

té exactament una solució real en l'interval $[0, 1]$.

Utilitza el Teorema del Valor Mitjà per demostrar la desigualtat següent per a qualsevol parell de nombres reals $a$ i $b$ tals que $0 < a < b$:

Ajuda: Aplica el teorema a la funció $f(x) = \ln(x)$ en l'interval $[a, b]$.