Optimització de funcions

Determina dos nombres reals positius la suma dels quals sigui exactament $60$ i tals que el seu producte sigui el més gran possible.

A la figura, el segment de longitud $60$ es reparteix en dues parts, $x$ i $y$. El punt de repartiment està dibuixat en un lloc qualsevol: no indica la solució.

Un jove ramader disposa de $120$ metres de tanca per tancar un recinte rectangular destinat a la pastura. Aprofitant que un dels costats del recinte serà una paret de pedra ja existent, només necessita tancar els altres tres costats. Calcula les dimensions del recinte perquè l'àrea tancada sigui màxima.

Un refugi d'animals ha rebut una donació de $120$ metres de tanca metàl·lica per construir dos recintes rectangulars contigus destinats a gossos i gats. Els recintes han de compartir un costat comú, com es mostra a la figura, per aprofitar al màxim el material. Determina les dimensions de l'estructura exterior ($x$ i $y$) perquè l'àrea total tancada sigui màxima.

Una empresa química necessita fabricar dipòsits cilíndrics tancats amb una capacitat de $16 \pi$ metres cúbics. El material utilitzat per a les bases (superior i inferior) té un cost de $5$ € per metre quadrat, mentre que el material per a la superfície lateral és més lleuger i costa $2$ € per metre quadrat. Calcula el radi de la base i l'alçària del cilindre que minimitzen el cost total de fabricació de cada dipòsit.

Es vol dissenyar una càpsula per a un nou fàrmac que té forma de cilindre circular recte estés en els seus extrems per dos hemisferis del mateix radi que el cilindre. Per raons d'estabilitat química, el volum total de la càpsula ha de ser exactament de $36\pi \text{ mm}^3$. El material utilitzat per als extrems hemisfèrics és un 50% més car per unitat de superfície que el material utilitzat per a la part cilíndrica. Determina les dimensions de la càpsula (radi $r$ i longitud de la part cilíndrica $h$) que minimitzen el cost total de fabricació.

Una plataforma de reproducció en línia (streaming) està analitzant la seva política de preus per a un nou pla prèmium. Actualment, tenen $10.000$ subscriptors que paguen $12$ € al mes. Un estudi de mercat indica que per cada euro que es rebaixi el preu de la subscripció, s'apuntaran $1.000$ nous usuaris. Per contra, per cada euro que augmenti el preu, es perdran $1.000$ usuaris. Sabent que els costos fixos de manteniment són de $20.000$ € al mes i que cada subscriptor genera una despesa de gestió de $2$ €, quin preu de subscripció mensual maximitzarà el benefici net de la plataforma?

Una empresa logística està construint un magatzem amb una superfície de $400 \text{ m}^2$. El magatzem ha de tenir forma rectangular i estar dividit en dos sectors per un mur intern paral·lel a un dels seus costats laterals. El cost dels murs exteriors és de $120 \text{ €}$ per metre lineal, mentre que el mur intern, en ser menys resistent, costa $80 \text{ €}$ per metre lineal. Troba les dimensions del magatzem que fan que el cost dels murs sigui el més baix possible.

En un videojoc d'estratègia, una unitat d'exploració es troba en el punt $A(0, 5)$ d'un mapa coordinat. Existeix un camí la trajectòria del qual segueix la forma de la paràbola $y = x^2$. Els programadors necessiten calcular els punts exactes del camí que es troben a la distància mínima de la unitat per activar un esdeveniment de proximitat. Determina les coordenades d'aquests punts.

Un dron de vigilància s'ha de desplaçar des d'una base situada en el punt $A(0, 4)$ fins a un objectiu en el punt $B(10, 0)$, on les coordenades estan expressades en quilòmetres. El terreny està dividit en dues zones per la recta $y = 2$. A la zona superior ($y > 2$), a causa de les condicions de vent, el dron pot volar a una velocitat de $60 \text{ km/h}$. A la zona inferior ($y \leq 2$), el dron pot assolir els $100 \text{ km/h}$. Planteja la funció que modelitza el temps total del trajecte i l'equació que determina el punt sobre la línia divisòria pel qual ha de creuar el dron perquè aquest temps sigui mínim (no cal resoldre-la).