Tècniques de recompte

Per millorar la seguretat d'una aplicació mòbil, un desenvolupador decideix crear codis d'accés consistents en una lletra majúscula (considerant les 26 lletres de l'alfabet estàndard) seguida de tres dígits (del 0 al 9).

• Quants codis diferents es poden crear si els dígits es poden repetir?

• Quants codis diferents hi hauria si els tres dígits han de ser diferents entre si?

• Si es genera un codi a l'atzar amb dígits repetibles, quina és la probabilitat que la lletra sigui una 'Z'?

Per millorar la seguretat d'una plataforma d'e-sports, es requereix que els usuaris creïn una clau d'accés de 6 caràcters. Els dos primers han de ser lletres majúscules de l'abecedari espanyol (27 lletres) i els quatre restants han de ser dígits del $0$ al $9$.

Calcula quantes contrasenyes diferents es poden generar si:

1. a) Es permeten repeticions de lletres i nombres.
2. b) No es permet repetir cap lletra, però sí els nombres.
3. c) Les lletres han de ser diferents i els nombres han de formar una seqüència estrictament creixent (per exemple: $1258$, però no $1225$ ni $4321$).

Una empresa de cibersetguretat genera claus d'accés mitjançant la permutació dels caràcters de la paraula BLOCKCHAIN. Es tria una d'aquestes claus a l'atzar.

1. a) Calcula la probabilitat que la clau triada comenci i acabi per vocal.
2. b) Determina la probabilitat que totes les vocals apareguin juntes a la clau.
3. c) Si es sap que la clau comença per B, quina és la probabilitat que la segona lletra sigui una L?

Una classe d'enginyeria ha de triar una comissió de 3 representants. Si a la classe hi ha 20 estudiants, calcula:

• De quantes maneres es pot triar la comissió si els tres càrrecs (delegat, subdelegat i secretari) són diferents?

• De quantes maneres es pot triar si els tres representants tenen el mateix rang i no importa l'ordre?

• Si hi ha 12 homes i 8 dones, quina és la probabilitat que la comissió (sense càrrecs diferenciats) estigui formada només per dones? (Planteja la fracció mitjançant nombres combinatoris).

Una urna conté 12 boles de vidre per a un experiment d'òptica: 5 són blaves, 4 són vermelles i 3 són grogues. Si extraiem una bola a l'atzar, calcula les probabilitats següents utilitzant la regla de Laplace:

• Que la bola sigui vermella o groga.

• Que la bola no sigui blava.

• Que la bola sigui blanca.

En un laboratori de robòtica, s'han barrejat en una capsa 8 sensors de proximitat en perfecte estat i 2 sensors defectuosos. Un alumne extreu dos sensors de forma consecutiva i sense reemplaçament (sense retornar el primer a la capsa).

Calcula la probabilitat que:

• Tots dos sensors funcionin correctament.

• El primer sigui defectuós i el segon estigui en bon estat.