Asímptotes d'una funció

Un dron d'inspecció tècnica segueix una trajectòria d'aproximació a una antena la altura de la qual ve donada per la funció $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, on $x$ és la distància horitzontal al centre de control. Calcula el límit de l'altura quan el dron es troba molt a prop de $x = 3$ metres.

(Nota: Encara que la funció no estigui definida a $x=3$, estudia el límit simplificant l'expressió).

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina el valor del paràmetre real $a$ sabent que la funció té una asímptota horitzontal a la recta $y = 3$. Una vegada trobat el valor de $a$, calcula els límits laterals de la funció en les seves asímptotes verticals i explica el comportament de la gràfica en aquests punts.

Un equip d'enginyers està monitorant la temperatura $T$ (en graus Celsius) d'un nou processador gràfic en funció del temps $t$ (en minuts) des que s'ha encès. La funció ve donada per:

Calcula la temperatura inicial del processador i determina mitjançant el càlcul de límits si la temperatura s'estabilitza a llarg termini. Quin tipus d'asímptota representa aquest valor d'estabilització?

Es considera la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Comprova si existeix una asímptota horitzontal quan $x$ tendeix a $+\infty$.
3. c) Investiga què passa amb el límit de la funció quan $x \to -\infty$. Existeix alguna asímptota en aquesta branca?

Troba l'equació de l'asímptota obliqua de la funció $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Per completar l'estudi, indica la posició relativa de la corba respecte a aquesta asímptota quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Considera la funció $f(x)$, definida mitjançant un valor absolut, que modela la trajectòria d'un dron de vigilància:

Estudia l'existència d'asímptotes obliqües en aquesta funció. En cas que existeixin, calcula'n les equacions i analitza la posició de la corba respecte a aquestes asímptotes tant en $+\infty$ com en $-\infty$.

Un satèl·lit de comunicacions segueix una òrbita la pertorbació gravitatòria de la qual es descriu per la funció $g(x)$. Es requereix que el satèl·lit no s'allunyi indefinidament d'una trajectòria lineal prevista. La funció és:

Troba els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció tingui una asímptota horitzontal a $y = 2$ quan $x \to +\infty$.

Estudia el domini i totes les asímptotes de la funció logarítmica següent:

Determina els límits laterals en cadascun dels punts on la funció no està definida i esboça gràficament el comportament de la funció a prop de les seves asímptotes verticals.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'està dissenyant un nou algorisme de compressió de dades per a una plataforma de streaming. El temps de resposta del sistema, en mil·lisegons, ve modelat per la funció $T(x)$, on $x$ representa la càrrega de treball en terabytes:

Sabent que, perquè el sistema sigui estable sota càrregues extremes, el límit del temps de resposta quan la càrrega tendeix a infinit ha de ser exactament $e^4$, determina raonadament el valor del paràmetre $a$.

Donada la funció dependent dels paràmetres $k$ i $m$:

Calcula els valors de $k$ i $m$ perquè $f(x)$ tingui una asímptota obliqua que passi pel punt $(0, 2)$ i el pendent de la qual sigui $3$. Una vegada trobats, comprova si la funció té alguna asímptota vertical i justifica si és evitable o no.