Teorema de Rouché-Frobenius

Donat el sistema d'equacions lineals següent sense paràmetres:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + 4z = 7 \end{cases}$$

Calcula el rang de la matriu de coeficients $A$ i el rang de la matriu ampliada $A^*$. Utilitza el teorema de Rouché-Frobenius per discutir l'existència i el nombre de solucions del sistema.

En una sessió d'estudi sobre àlgebra, un company et mostra els resultats de l'anàlisi dels rangs de tres sistemes d'equacions diferents utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius. Indica raonadament el tipus de sistema (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) en cadascun dels casos següents, sabent que el nombre d'incògnites és $n = 3$:

1. a) $rg(A) = 3$ i $rg(A^*) = 3$.
2. b) $rg(A) = 2$ i $rg(A*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2$ i $rg(A^*) = 2$.

Discuteix el sistema d'equacions següent en funció del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + y = k \end{cases}$$

Determina per a quins valors de $k$ el sistema és Compatible Determinat i per a quins és Incompatible o Compatible Indeterminat.

Un «influencer» està analitzant el creixement dels seus seguidors en tres xarxes socials diferents (TikTok, Instagram i Twitch). Ha plantejat un sistema d'equacions per repartir el seu pressupost publicitari, però s'ha adonat que té més incògnites que equacions:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 1000 \\ 2x - y + 3z = 1500 \end{cases}$$

On $x, y, z$ és la inversió en euros per a cada xarxa social. Sense resoldre el sistema, explica raonadament mitjançant el teorema de Rouché-Frobenius per què aquest sistema mai no podrà tenir una solució única. Podria ser incompatible?

Associa cadascuna de les situacions geomètriques següents de tres plans en l'espai amb la discussió del sistema corresponent segons el teorema de Rouché-Frobenius (assumeix $n=3$):

1. Els tres plans es tallen en un únic punt.

2. Dos plans són paral·lels i el tercer els talla.

3. Els tres plans es tallen en una recta comuna.

Relaciona cada cas amb una d'aquestes opcions:

1. a) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 2$.
2. b) $rg(A) = 3, rg(A^*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 3$.

Es considera el sistema d'equacions lineals següent dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = b^2 \end{cases}$$

Discuteix el sistema utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius en funció de tots els valors possibles de $a$ i $b$. En els casos en què el sistema sigui compatible indeterminat, indica el grau de llibertat (nombre de paràmetres de la solució) i descriu la posició relativa dels tres plans que representen les equacions.

Donat el sistema de quatre equacions amb tres incògnites:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 8 \\ 3x + 4y + 2z = k \end{cases}$$

1. a) Determina els valors dels paràmetres $m$ i $k$ perquè el sistema sigui compatible segons el teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) Existeix cap valor de $m$ que faci que el sistema sigui compatible indeterminat independentment de $k$? Justifica la teva resposta analitzant els rangs de la matriu de coeficients i la matriu ampliada.