Equació d'un pla a l'espai

Determina l'equació del pla $\pi$ que conté la recta $r$ donada per:

i és paral·lel a la recta $s$, que passa pels punts $P(0, 2, 1)$ i $Q(1, 2, 4)$. Justifica per què el vector director de $s$ no pot ser proporcional al de $r$ perquè el pla estigui unívocament determinat.

Troba el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè els punts $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ i $D(k, k, 2)$ siguin coplanaris. Una vegada trobat $k$, escriu l'equació del pla que els conté en forma paramètrica.

Un enginyer està dissenyant la base d'una peça mitjançant un programa de CAD. La base ha de ser un pla que passi pel punt $P(2, -1, 3)$ i el vector normal del qual sigui $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcula l'equació general del pla que defineix aquesta base.

Es vol instal·lar un foc de llum la trajectòria del qual sigui perpendicular a una placa metàl·lica. Si la trajectòria del raig de llum ve donada per la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, troba l'equació del pla que conté la placa metàl·lica sabent que passa pel punt $M(0, 4, -2)$.

En un escenari de realitat virtual, tres sensors estan situats en els punts $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ i $C(0, 0, 3)$. Determina l'equació general del pla que conté aquests tres sensors.

Un arquitecte està dissenyant una coberta plana per a un petit pavelló. La coberta s'ha de recolzar sobre tres pilars els extrems superiors dels quals estan situats en els punts $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ i $C(1, 1, 5)$, on les unitats estan en metres.

1. a) Obtén l'equació general o implícita del pla que conté la coberta.
2. b) Calcula els punts de tall d'aquest pla amb els eixos de coordenades per determinar on se situarien els ancoratges si la coberta s'estengués fins a tocar els murs principals (eixos).

Un arquitecte utilitza l'«equació segmentària» per definir un sostre inclinat que talli els eixos de coordenades en els punts $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ i $(0, 0, 2)$. Escriu directament la seva equació i transforma-la a la forma general $Ax + By + Cz + D = 0$.

Un pla $\pi$ talla els eixos de coordenades en els punts $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ i $Z(0, 0, c)$. Es sap que el pla passa pel punt $P(1, 2, 2)$ i que les distàncies a l'origen des dels punts de tall són iguals ($a = b = c$).

1. a) Escriu l'equació general del pla.
2. b) Calcula el volum del tetraedre format per l'origen de coordenades i els tres punts de tall amb els eixos.

Es considera el feix de plans l'aresta del qual és la recta d'intersecció dels plans $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ i $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Troba el pla pertanyent a aquest feix que passa pel punt mitjà del segment d'extrems $A(1, 2, -1)$ i $B(3, 0, 5)$.