Nombres reals (repàs)

Classifica els nombres reals següents indicant a quins dels conjunts numèrics pertanyen: naturals ($\mathbb{N}$), enters ($\mathbb{Z}$), racionals ($\mathbb{Q}$) o irracionals ($\mathbb{I}$). Raona breument la teva resposta per als nombres decimals i les arrels:

• $a) \ - \sqrt{16}$

• $b) \ \frac{15}{3}$

• $c) \ 2,131313...$

• $d) \ \sqrt{7}$

• $e) \ \frac{\pi}{2}$

• $f) \ -4,25$

Simplifica les expressions següents utilitzant les propietats de les potències i arrels, deixant el resultat en forma de potència d'exponent fraccionari:

• $a) \ \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}$

• $b) \ \frac{x^3}{\sqrt[4]{x}}$

• $c) \ (\sqrt[5]{x^2})^3$

Utilitzant les propietats dels logaritmes, desenvolupa l'expressió següent en termes de $\log x$, $\log y$ i $\log z$:

$$L = \log \left( \frac{100 \cdot x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$$

A continuació, si sabem que $\log x = 0,5$, $\log y = 1,2$ i $\log z = 0,8$, calcula el valor numèric de $L$.

Troba els valors de $x$ que compleixen les igualtats i desigualtats següents amb valor absolut. Expressa el resultat com un interval:

• $a) \ |x| = 7$

• $b) \ |x - 2| = 5$

• $c) \ |x| < 3$

• $d) \ |x + 1| \leq 2$

Un laboratori de biotecnologia manté una mostra d'enzims en una cambra climàtica. Perquè els enzims no es desnaturalitzin, la temperatura $T$ (en graus Celsius) ha de satisfer la condició següent:

$$|2T - 15| \le 25$$

Resol la inequació i determina el rang de temperatures (interval) en què poden treballar els investigadors sense danyar la mostra.

Troba el conjunt de valors reals que satisfan la inequació següent amb doble valor absolut:

$$|x - 2| + |x + 3| < 7$$

Representa la solució a la recta real i expressa-la mitjançant un únic interval obert.

Expressa els entorns següents en forma d'interval obert i representa'ls gràficament sobre la recta real:

1. a) $E(2; 3)$ (entorn de centre 2 i radi 3)

1. b) $E(-1; 0,5)$ (entorn de centre $-1$ i radi $0,5$)

1. c) $E^*(0; 4)$ (entorn reduït de centre 0 i radi 4)

En el disseny d'una peça d'alta precisió per a un motor aeroespacial, el radi d'un cilindre, denotat per $x$, ha de complir que la seva diferència amb el radi nominal de $5\text{ cm}$ sigui tan petita que l'error en l'àrea de la seva secció transversal, $A(x) = \pi x^2$, no superi els $0,01\text{ cm}^2$.

Utilitzant la definició formal d'entorn reduït $E^*(a, \delta)$, troba el valor màxim de la tolerància $\delta$ que pot tenir el radi $x$ per assegurar que l'àrea es mantingui en l'entorn $E(25\pi, 0,01)$. Expressa el resultat de $\delta$ en funció de $\pi$ de forma exacta.

Demostra, utilitzant exclusivament la definició mètrica de límit ($\varepsilon - \delta$), que:

$$\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x) = 3$$

Per a això, donat un $\varepsilon > 0$, troba una expressió per a $\delta$ en funció de $\varepsilon$ (pots suposar una acotació inicial per a $\delta$, per exemple $\delta \leq 1$).

Un sensor de temperatura en un servidor de dades indica que la CPU està a $42,6^{\circ}C$. Si el valor real mesurat amb un termòmetre de precisió és de $42,45^{\circ}C$, calcula:

• $a)$ L'error absolut de la mesura del sensor.

• $b)$ L'error relatiu comès, expressat en percentatge.

En astrofísica, la distància entre dos cossos celestes es mesura sovint en unitats astronòmiques (UA). Suposem que s'han realitzat dues mesures de la distància a un exoplaneta: $d_1 = 4,56 \cdot 10^8$ km i $d_2 = 4,562 \cdot 10^8$ km.

a) Calcula l'error absolut i l'error relatiu comès si prenem la primera mesura com a aproximació de la segona.

b) Expressa el resultat de l'error relatiu en percentatge i comenta si l'aproximació és acceptable per a un entorn científic.