Exercicis: Vectors i espais vectorials

En Carlos ha de calcular les coordenades del punt mitjà $M$ del segment els extrems del qual són $A(1,\; -2,\; 4)$ i $B(5,\; 2,\; -2)$. Per resoldre-ho, escriu al seu examen:

Per tant, conclou que el punt mitjà és $M(2,\; 2,\; -3)$.

1. a) Explica detalladament quin és l'error conceptual d'en Carlos. Què representa geomètricament el vector $\frac{1}{2}\vec{AB}$ i per què les seves components no coincideixen amb les coordenades del punt mitjà respecte a l'origen de coordenades?
2. b) Mostra com en Carlos podria haver arribat al punt mitjà correcte utilitzant el seu vector $\frac{1}{2}\vec{AB}$ sumant-lo al vector de posició adequat.
3. c) Corregeix el càlcul aplicant la fórmula directa del punt mitjà $M = \frac{A+B}{2}$ i comprova que tots dos camins porten al mateix resultat.

Es considera el vector de l'espai $\vec{v} = (2,\; -6,\; 9)$.

1. a) Sense calcular arrels quadrades, justifica per què el mòdul de qualsevol vector no nul $\vec{u} = (u_1,\; u_2,\; u_3)$ compleix sempre que és més gran o igual que el valor absolut de qualsevol de les seves components ($|\vec{u}| \ge |u_i|$, amb desigualtat estricta si té almenys dues components no nul·les) i menor o igual que la suma dels valors absoluts de totes elles ($|\vec{u}| \le |u_1| + |u_2| + |u_3|$).
2. b) Utilitza el raonament anterior per fitar el valor de $|\vec{v}|$ entre dos nombres enters, estimant un interval en què s'ha de trobar necessàriament la seva longitud.
3. c) Calcula el mòdul exacte de $\vec{v}$ aplicant la fórmula tridimensional i comprova si la teva estimació inicial era correcta.

Un dron de missatgeria es desplaça en l'espai tridimensional seguint trajectòries marcades per vectors. Els seus propulsors bàsics li permeten realitzar tres moviments fonamentals definits pels vectors $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ i $\vec{w} = (2, 0, 3)$. Si el dron necessita realitzar un transport urgent des del centre de control fins a un client seguint el vector de desplaçament resultant $\vec{d} = (5, 1, 10)$, calcula els coeficients $a, b$ i $c$ tals que el moviment es pugui expressar com a combinació lineal dels propulsors: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

En el disseny d'un videojoc, la il·luminació d'una sala depèn de tres focs, les direccions de feix dels quals estan definides pels vectors $\vec{v_1} = (1, 2, k)$, $\vec{v_2} = (k, 0, 1)$ i $\vec{v_3} = (3, 2, 2)$. Determina raonadament els valors del paràmetre real $k$ per als quals els tres feixos de llum són linealment dependents (estan en un mateix pla). Què passa amb la base de l'espai si $k$ pren un d'aquests valors?

Considera els vectors de l'espai $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ i $\vec{w} = (1, 0, 1)$.

1. a) Demostra que el conjunt $B = \{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \}$ forma una base de $\mathbb{R}^3$.
2. b) Troba les coordenades del vector canònic $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ respecte de la base $B$.

Un sistema de seguretat làser utilitza tres sensors situats en els punts $A(1, 2, 3)$, $B(3, 0, 1)$ i $C(k, -2, -1)$. Perquè el sistema funcioni correctament, els tres sensors han d'estar perfectament alineats.

1. a) Calcula el valor de $k$ perquè els sensors $A, B$ i $C$ estiguin alineats.
2. b) Utilitzant el valor de $k$ trobat, determina les coordenades del punt mitjà del segment $AC$.

S'estan instal·lant panells solars en una estructura metàl·lica. Els punts d'ancoratge d'un panell són $P(1, 0, 1)$, $Q(2, 1, 3)$, $R(0, 2, 2)$ i $S(1, 3, a)$. Perquè el panell no pateixi tensions mecàniques, els quatre punts han de ser coplanaris (pertànyer al mateix pla).

1. a) Determina el valor de $a$ perquè els punts $P, Q, R$ i $S$ siguin coplanaris.
2. b) Per al valor de $a$ obtingut, són els vectors $\vec{PQ}$ i $\vec{PR}$ linealment independents? Justifica la teva resposta.

Donats els punts $A(2, -1, 4)$ i $B(8, 5, -2)$, troba les coordenades dels punts $C$ i $D$ que divideixen el segment $AB$ en tres parts iguals. Explica la relació vectorial que has utilitzat per resoldre'ho.

Estudia el rang de la família de vectors següent segons els valors del paràmetre $m$:

$\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ i $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determina per a quins valors de $m$ el sistema de vectors és linealment dependent i, en cas que ho sigui, indica si els vectors són proporcionals o coplanaris.

En un programari de simulació física, es defineix un sistema de referència local mitjançant els vectors $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (1, 0, 1)$ i un tercer vector $\vec{c}$ de manera que el conjunt sigui linealment independent.

Si el vector $\vec{c}$ té la forma $(0, 1, \lambda)$, determina l'interval de valors de $\lambda$ per als quals $\vec{c}$ no es pot expressar com a combinació lineal de $\vec{a}$ i $\vec{b}$. Raona si això significa que el conjunt $\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$ formaria una base de $\mathbb{R}^3$.

Un dron de vigilància s'enlaira des d'una plataforma situada en el punt $A(1, -2, 5)$ i es desplaça en línia recta fins a assolir un objectiu en el punt $B(4, 3, -1)$. Calcula les components del vector de desplaçament $\vec{AB}$ i obtén el seu mòdul per conèixer la distància recorreguda pel dron.

Donats els vectors $\vec{u} = (2, -1, 3)$ i $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realitza les operacions analítiques següents:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Calcula el valor de l'escalar $k$ si se sap que $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.

En el disseny d'una estructura metàl·lica, dues bigues s'uneixen en els seus extrems representats pels punts $P(2, 5, -3)$ i $Q(8, -1, 7)$. Per reforçar l'estructura, s'ha de col·locar un suport exactament en el punt mitjà del segment $PQ$. Troba les coordenades d'aquest punt mitjà $M$.

Determina si els vectors $\vec{a} = (1, -2, 4)$ i $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ són linealment dependents. Justifica la teva resposta comprovant si les seves coordenades són proporcionals i explica quina relació geomètrica hi ha entre ells (són paral·lels?).

Expressa el vector $\vec{w} = (7, 11, 2)$ com a combinació lineal dels vectors de la base canònica de $\mathbb{R}^3$, és a dir, en funció de $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ i $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Tres estacions de ràdio estan situades en els punts $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ i $C(5, 3, -1)$. Comprova si les tres estacions estan alineades (pertanyen a la mateixa línia recta) estudiant la proporcionalitat dels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{BC}$.

Calcula el valor del paràmetre $m$ perquè el vector $\vec{u} = (m, 2, 4)$ sigui combinació lineal dels vectors $\vec{v} = (1, 0, 2)$ i $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mitjançant l'expressió $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.

Considera un paral·lelogram on tres dels seus vèrtexs consecutius són $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ i $C(5, 5, 3)$. Utilitzant la igualtat entre vectors (per exemple, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcula les coordenades del quart vèrtex $D$.

Es coneixen els punts de l'espai $A(1,\; -1,\; 2)$ i $B(3,\; 1,\; 0)$. Es vol determinar la posició d'un tercer punt $P(x,\; y,\; z)$ que compleix simultàniament tres condicions:

1. Els punts $A$, $B$ i $P$ estan alineats sobre una mateixa recta.

2. La distància entre $A$ i $P$ és exactament el triple de la distància entre $A$ i $B$ (és a dir, $|\vec{AP}| = 3\cdot |\vec{AB}|$).

3. La tercera coordenada de $P$ és estrictament negativa ($z < 0$).

1. a) Obtén les components del vector $\vec{AB}$ i calcula el seu mòdul exacte.
2. b) Planteja la relació vectorial entre $\vec{AP}$ i $\vec{AB}$, deduint els dos possibles vectors de desplaçament $\vec{AP}$ que satisfan la condició de distància.
3. c) Determina de manera raonada les coordenades del punt $P$ descartant la solució que no compleix la restricció sobre la coordenada $z$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) fa el seguiment d'un globus sonda meteorològic llançat des de les proximitats de Madrid. Es fixa un sistema de referència cartesià amb origen $O(0,\; 0,\; 0)$ a l'estació de llançament, on l'eix $X$ apunta cap a l'est, l'eix $Y$ cap al nord (tots dos amb distàncies en quilòmetres) i l'eix $Z$ mesura l'altitud (en centenars de metres, de manera que $z = 10$ representa $1000\text{ m}$ d'altitud).

En una primera fase d'ascens, el globus arriba a la posició $A(0,\; 0,\; 12)$. A continuació, un corrent sostingut de vent el trasllada segons el vector de desplaçament $\vec{u} = (4,\; 3,\; 8)$ fins a una posició $B$.

1. a) Determina les coordenades de la posició $B$ i indica a quina altitud en metres es troba el globus en aquest punt.
2. b) Un equip de seguiment vol situar un punt d'observació $M$ a la meitat exacta del trajecte entre el punt d'enlairament $O$ i la posició $B$. Troba les coordenades de $M$ i calcula la distància directa en línia recta des de l'origen $O$ fins a $M$ expressant el resultat en quilòmetres (tingues en compte la conversió d'unitats: $1\text{ unitat de } z = 0,1\text{ km}$).
3. c) Des de la posició $B$, una ràfega empeny el globus segons el vector $\vec{w} = (-2;\; -1,5;\; -4)$, situant-lo en un nou punt $C$. Demostra vectorialment que els punts $A$, $B$ i $C$ estan alineats.

Donats els vectors de l'espai $\mathbb{V}^3$ definits per $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ i $\vec{w} = (1, 1, k)$, es demana:

• a) Determina raonadament per a quins valors del paràmetre real $k$ els vectors $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ no constitueixen una base de $\mathbb{R}^3$.

• b) Per als valors de $k$ trobats en l'apartat anterior, estudia la dependència o independència lineal dels vectors presos de dos en dos.

• c) En el cas que $k = 0$, expressa el vector $\vec{a} = (2, 3, 5)$ com a combinació lineal de $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$.

Considera una base $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}$ d'un espai vectorial euclidià. Es defineixen tres nous vectors a partir dels elements de la base com:

$\vec{u} = \vec{e_1} + a\vec{e_2}$

$\vec{v} = \vec{e_2} + b\vec{e_3}$

$\vec{w} = \vec{e_3} + c\vec{e_1}$

Demostra que els vectors $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ són linealment dependents si i només si el producte dels coeficients $abc = -1$. En el cas que $a=1, b=1, c=-1$, obtén la relació de dependència lineal que hi ha entre ells.

Un equip d'enginyers està calibrant el sistema de navegació d'un satèl·lit. S'han definit dues bases diferents en l'espai de treball: la base de control $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ i la base de maniobra $B' = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. Sabem que:

$\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$

$\vec{c} = \vec{v} - \vec{w}$

Un objecte detectat té coordenades $(1, -2, 3)$ respecte a la base de maniobra $B'$. Calcula quines són les seves coordenades respecte a la base de control $B$. És possible que un vector tingui les mateixes coordenades en totes dues bases? Justifica la teva resposta.

En un tetraedre de vèrtexs $O(0,0,0)$, $A(2,2,0)$, $B(0,2,1)$ i $C(k,0,3)$, es demana determinar el valor de $k$ perquè el vector que uneix l'origen $O$ amb el baricentre $G$ de la cara oposada $ABC$ sigui perpendicular al pla que conté aquesta cara. Nota: El baricentre d'un triangle és la mitjana aritmètica dels seus vèrtexs.

Siguin els vectors $\vec{u} = (1, -1, 0)$ i $\vec{v} = (0, 1, -1)$. Troba tots els vectors $\vec{w}$ que compleixin simultàniament les tres condicions següents:

1. $\vec{w}$ és combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

2. El mòdul de $\vec{w}$ és igual a $\sqrt{6}$.

3. $\vec{w}$ forma un angle de $60^\circ$ amb el vector $\vec{u}$.

Estudia la dependència lineal dels punts $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 2)$, $C(2, 0, 0)$ i $D(m, m, m)$.

• a) Determina per a quins valors de $m$ els quatre punts són coplanaris.

• b) Existeix algun valor de $m$ per al qual el vector $\vec{AB}$ sigui ortogonal al vector $\vec{CD}$?

• c) Explica geomètriament què passa amb els punts quan $m=1$.

Es considera el conjunt de vectors $S = \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ que formen una base ortonormal. Es construeix un nou sistema de vectors $S' = \{ \vec{w_1}, \vec{w_2}, \vec{w_3} \}$ mitjançant les relacions:

$\vec{w_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

$\vec{w_2} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$

$\vec{w_3} = \vec{v_3}$

• a) Demostra que $S'$ és una base ortogonal però no ortonormal.

• b) Troba el volum del paral·lelepíped definit pels vectors de $S'$.

• c) Si un vector $\vec{x}$ té coordenades $(3, 1, 4)$ en la base $S$, calcula les seves coordenades en la base $S'$.

Dues partícules es desplacen per l'espai seguint trajectòries rectilínies. En l'instant $t=0$, la primera partícula es troba en el punt $P(1, 0, 0)$ i es mou amb una velocitat constant donada pel vector $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$. La segona partícula parteix de $Q(0, 2, 1)$ amb velocitat $\vec{v_2} = (2, m, 0)$.

Determina el valor de $m$ perquè els vectors posició de totes dues partícules en qualsevol instant $t > 0$ i el vector que uneix les seves posicions inicials $\vec{PQ}$ siguin sempre coplanaris. Xocaran les partícules en algun moment per a aquest valor de $m$?

Per determinar si tres punts de l'espai $A(1,\; 2,\; -1)$, $B(3,\; -2,\; 3)$ i $C(6,\; -8,\; 9)$ estan alineats sobre una mateixa recta, es plantegen dues estratègies de resolució diferents:

• Mètode 1 (Mètric): Calcular les distàncies euclidianes $d(A, B)$, $d(B, C)$ i $d(A, C)$ mitjançant el mòdul dels seus respectius vectors i comprovar si la suma de les dues distàncies menors coincideix exactament amb la més gran.

• Mètode 2 (Vectorial): Construir els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$ i analitzar si són linealment dependents comprovant la proporcionalitat de les seves components: $\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1} = \frac{b_2-a_2}{c_2-a_2} = \frac{b_3-a_3}{c_3-a_3}$.

1. a) Aplica el Mètode 2 per decidir de manera justificada si els punts $A$, $B$ i $C$ estan o no alineats.
2. b) Aplica el Mètode 1 calculant els mòduls $|\vec{AB}|$ i $|\vec{AC}|$ simplificant els radicals obtinguts, i verifica que s'arriba a la mateixa conclusió.
3. c) Compara críticament tots dos mètodes i redacta una justificació raonada sobre quin és més convenient. Considera en la teva anàlisi dos aspectes: el cost algebraic (presència d'arrels quadrades enfront de raons directes) i la facilitat d'aplicació en el cas que la tercera coordenada de $C$ contingués un paràmetre literal desconegut $k$.

Es consideren els vectors de l'espai $\vec{u} = (1,\; -1,\; 2)$ i $\vec{v} = (0,\; 2,\; 1)$, així com el vector dependent d'un paràmetre real $k$: $\vec{w}_k = (2,\; k,\; 7)$.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions amb dues incògnites ($a, b$) que tradueix la condició que $\vec{w}_k$ sigui combinació lineal d'$u$ i $v$, és a dir, $\vec{w}_k = a\vec{u} + b\vec{v}$.
2. b) Resol les equacions independents de $k$ per determinar els únics coeficients $a$ i $b$ possibles. A partir d'aquests, dedueix si existeix algun valor del paràmetre $k$ per al qual $\vec{w}_k$ sigui combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$.
3. c) Suposa ara que es defineix el vector $\vec{t} = (3,\; -3,\; 6)$. Sense resoldre cap sistema d'equacions, raona si $\vec{t}$ és linealment dependent de $\vec{u}$ i descriu la posició relativa de les rectes que contenen tots dos vectors a l'espai.
4. d) Justifica de manera formal i raonada per què cap parell d'escalars reals no nuls $\alpha, \beta \neq 0$ pot complir que $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} = (0,\; 0,\; 0)$, relacionant el teu argument amb la independència lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$.