Continuïtat d'una funció en un punt
A 1r vas comprovar la continuïtat de polinomis, racionals senzilles i funcions definides a trossos amb rectes o paràboles. A 2n les mateixes tres condicions s'apliquen a funcions més elaborades: valors absoluts, exponencials, logaritmes i trigonomètriques combinades en un sol tram.
Les tres condicions, una altra vegada
Comprova si la funció $f(x) = e^{x-1}$ és contínua en el punt $x = 1$. Perquè la resposta sigui completa, has de verificar si el valor de la funció en el punt coincideix…
Comprova si la funció $f(x) = e^{x-1}$ és contínua en el punt $x = 1$. Perquè la resposta sigui completa, has de verificar si el valor de la funció en el punt coincideix amb el límit de la funció quan $x$ s'aproxima a 1.
Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en el punt $x = 1$. En cas que me presenti una discontinuïtat, indica de quin tipus és (evitable, de…
Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en el punt $x = 1$. En cas que me presenti una discontinuïtat, indica de quin tipus és (evitable, de salt finit o de salt infinit) i raona si existeix alguna forma de redefinir la funció perquè sigui contínua en aquest punt.
Discontinuïtats amb valor absolut
El valor absolut canvia d'expressió en el punt on el seu argument s'anul·la, igual que una funció definida a trossos. Per estudiar-ne la continuïtat allà, cal treure el valor absolut per parts i comparar límits laterals.
Estudia la continuïtat de la funció següent en tot el seu domini, classificant els punts de discontinuïtat que trobis: $$f(x) = \frac{|x - 2|}{x^2 - x - 2}$$ Acompanya…
Estudia la continuïtat de la funció següent en tot el seu domini, classificant els punts de discontinuïtat que trobis:
$$f(x) = \frac{|x - 2|}{x^2 - x - 2}$$Acompanya la teva anàlisi analítica amb un esquema dels límits laterals en els punts conflictius.
Donada la funció $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, justifica per què no és contínua en el punt $x = -4$. Per fer-ho, calcula els límits laterals $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ i…
Donada la funció $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, justifica per què no és contínua en el punt $x = -4$. Per fer-ho, calcula els límits laterals $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ i $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ i descriu el tipus de discontinuïtat que presenta.
Discontinuïtats amb exponencials, logaritmes i trigonomètriques
Quan el denominador o l'exponent d'una funció creix sense límit, els límits laterals de vegades donen resultats diferents entre $x\to a^-$ i $x\to a^+$: aquí apareixen discontinuïtats de salt, encara que la funció tingui bon aspecte.
Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ en el punt $x = 0$. Per fer-ho, calcula els límits laterals $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ i…
Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ en el punt $x = 0$. Per fer-ho, calcula els límits laterals $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Quin tipus de discontinuïtat presenta la funció en aquest punt?
Un sistema de refrigeració industrial regula la seva potència $P$ (en quilowatts) segons la temperatura exterior $T$ (en graus Celsius) mitjançant la funció següent:…
Un sistema de refrigeració industrial regula la seva potència $P$ (en quilowatts) segons la temperatura exterior $T$ (en graus Celsius) mitjançant la funció següent:
$$P(T) = \begin{cases} \dfrac{a \cdot e^T}{e^T + 1} & \text{si } T \leq 0 \\[2mm] \dfrac{\sqrt{T+4} - 2}{T} & \text{si } T > 0 \end{cases}$$Determina el valor de la constant $a$ perquè la transició de potència sigui contínua quan la temperatura passa pels $0\,^\circ C$.
Funcions a trossos: trobar els paràmetres de la continuïtat
L'exercici més típic de la PAU: una funció a trossos amb una o dues lletres desconegudes, i cal trobar els valors que eviten qualsevol salt en els punts d'unió.
Donada la funció dependent del paràmetre $k \in \mathbb{R}$: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ 2x - 5 & \text{si } x \geq 3…
Donada la funció dependent del paràmetre $k \in \mathbb{R}$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ 2x - 5 & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$Calcula el valor de $k$ perquè la funció presenti una discontinuïtat de salt finit a $x = 3$. Existeix algun valor de $k$ que la faci contínua en aquest punt? Raona la teva resposta mitjançant el càlcul de límits laterals.
Un equip d'enginyers robòtics ha programat el moviment d'un braç mecànic. La velocitat de l'extrem del braç (en m/s) segueix la trajectòria:…
Un equip d'enginyers robòtics ha programat el moviment d'un braç mecànic. La velocitat de l'extrem del braç (en m/s) segueix la trajectòria:
$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$
Determina els valors de $a$ i $b$ perquè el moviment del robot sigui continu (sense estrebades brusques) en l'instant $t = 4$ segons.
En el disseny d'un nou component per a un accelerador de partícules, la intensitat d'un camp magnètic en funció de la posició $x$ (en mil·límetres) ve definida per la…
En el disseny d'un nou component per a un accelerador de partícules, la intensitat d'un camp magnètic en funció de la posició $x$ (en mil·límetres) ve definida per la funció següent:
$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \cos(\pi x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la intensitat del camp magnètic sigui contínua en el punt $x = 0$. Una vegada trobats, seria la funció contínua en el punt $x = 2$? Raona la teva resposta analíticament.