Curvatura. Concavitat, convexitat i punt d'inflexió

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, fes els passos següents per estudiar-ne la curvatura (s'anomena còncava ($\cap$) la zona en què $f''(x)<0$ i convexa ($\cup$) la zona en què $f''(x)>0$):

1. a) Calcula la segona derivada $f''(x)$.

1. b) Determina els intervals de concavitat ($\cap$) i de convexitat ($\cup$).

1. c) Troba les coordenades del punt d'inflexió.

Donada la funció $f(x) = x^4 - 2x^3$, estudia la seva curvatura. Presenta aquesta funció cap punt on la derivada segona s'anul·li però no sigui un punt d'inflexió? Justifica la teva resposta analitzant el signe de $f''(x)$ a tots dos costats dels punts singulars de la segona derivada.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la funció $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ tingui un punt d'inflexió en $x = 2$. Una vegada trobat $k$, indica si la funció és cóncava o convexa en el punt $x = 0$.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, fes un estudi detallat de la seva curvatura (considera còncava $\cup$ on $f''(x)>0$ i convexa $\cap$ on $f''(x)<0$). Per a això:

1. a) Troba els intervals de concavitat i convexitat.

1. b) Determina les coordenades exactes dels seus punts d'inflexió, si n'hi ha.

La quantitat d'usuaris actius en una nova xarxa social durant els primers 6 mesos segueix aproximadament la funció $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, on $t$ és el temps en mesos i $N(t)$ és el nombre d'usuaris en milers.

1. Calcula el moment exacte (valor de $t$) en què el creixement d'usuaris comença a desaccelerar-se (punt d'inflexió).

2. Explica el significat de la curvatura de la funció abans i després d'aquest instant en termes de "ritme de creixement".

Un equip d'enginyers està dissenyant una rampa de salt per a un parc d'esports extrems. El perfil de la secció central de la rampa segueix la funció $f(x) = (x-2)e^x$ per a $x \in [-1, 3]$.

Calcula el valor de l'abscissa $x$ on la rampa canvia de ser cóncava a ser convexa (punt d'inflexió). Justifica per què en aquest punt la rampa ateny el seu pendent màxim de baixada en aquest tram.

Es considera la família de funcions de la forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, on $a$ i $b$ són paràmetres reals. Es sap que la gràfica de la funció passa pel punt $(0, 1)$ i que presenta un punt d'inflexió en el punt d'abscissa $x = 1$.

1. a) Determina els valors de $a$ i $b$.
2. b) Per als valors trobats, estudia els intervals de concavitat i convexitat de la funció i comprova si existeixen altres punts d'inflexió addicionals.

Un equip d'enginyers està dissenyant una rampa de transició per a un nou model de monopatí. L'altura de la rampa segueix la funció $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ en l'interval $x \in [-2, 2]$.

1. a) Calcula el valor de $k$ perquè la rampa canviï la seva curvatura (tingui un punt d'inflexió) exactament a $x = 0$.
2. b) És possible trobar un valor de $k$ tal que la funció sigui sempre convexa ($\cup$) en tot el seu domini de definició? Justifica la teva resposta analíticament.