Regles de derivació i funció derivada de funcions usuals

Donada la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 5$, es demana:

1. a) Trobar la funció derivada $f'(x)$.

1. b) Calcular el valor del pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt $P$ d'abscissa $x = 4$ (marcat a la figura).

Dada la funció $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtén:

1. a) La primera derivada $f'(x)$.
2. b) La segona derivada $f''(x)$, simplificant el resultat utilitzant funcions trigonomètriques usuals.

Un coet pirotècnic s'enlaira verticalment des d'una plataforma de llançament. L'altura $h$ en metres respecte al temps $t$ en segons ve donada per la funció polinòmica $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcula la funció derivada $h'(t)$, que representa la velocitat instantània del coet en qualsevol instant $t$.

Calcula l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ en el punt d'abscissa $x = 2$.

La figura mostra la gràfica de $f$, les seves asímptotes horitzontals i el punt $P$ de la corba l'abscissa del qual és $x = 2$.

Donada la funció racional que involucra logaritmes neperians:

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Troba l'expressió de la seva derivada $g'(x)$ i determina els valors de $x$ per als quals el pendent de la recta tangent a la gràfica de $g(x)$ és igual a zero.

Calcula la derivada de la funció següent simplificant el resultat final tant com sigui possible mitjançant identitats trigonomètriques:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Utilitzant la tècnica de derivació logarítmica, troba la derivada de la funció $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ per a $x > 0$.

Donada la funció transcendent definida per $f(x) = (\arctan x)^x$ per a $x > 0$, utilitza la tècnica de derivació logarítmica per calcular la seva funció derivada $f'(x)$. Un cop obtinguda, calcula el valor exacte del pendent de la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 1$.