Integració de fraccions racionals
Un quocient de polinomis $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ no és a la taula d'integrals immediates. El truc sempre és el mateix: transformar-lo en una suma de peces que sí que hi siguin. Quines peces surten depèn del grau de $P$ i de les arrels de $Q$.
Si el grau del numerador no és menor: divideix primer
Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que passa pel punt $P(2, 5)$. Tingues en compte que, a causa dels graus dels polinomis,…
Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que passa pel punt $P(2, 5)$. Tingues en compte que, a causa dels graus dels polinomis, hauràs de realitzar una divisió prèvia i posteriorment descompondre la fracció restant considerant l'existència d'arrels reals múltiples.
Arrels reals simples: una fracció per a cadascuna
Calcula la integral indefinida següent observant que el numerador és, o es pot transformar fàcilment, en la derivada del denominador: $$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 10}…
Calcula la integral indefinida següent observant que el numerador és, o es pot transformar fàcilment, en la derivada del denominador:
$$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 10} \, dx$$Un estudi de mercat analitza el ritme de creixement de les vendes d'un nou model de patinet elèctric. La funció que descriu la taxa de variació de les vendes (en…
Un estudi de mercat analitza el ritme de creixement de les vendes d'un nou model de patinet elèctric. La funció que descriu la taxa de variació de les vendes (en centenars d'unitats per mes) ve donada per:
$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$
On $x$ és el temps en mesos. Calcula la família de funcions de vendes totals $F(x)$ obtenint la primitiva d'aquesta funció. (Nota: Realitza primer la divisió polinòmica).
Arrels reals múltiples: una fracció per a cada potència
Es vol trobar una funció $F(x)$ la derivada de la qual és $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^3}$. Troba aquesta funció sabent que la seva gràfica passa pel punt…
Es vol trobar una funció $F(x)$ la derivada de la qual és $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^3}$. Troba aquesta funció sabent que la seva gràfica passa pel punt $(0, 2)$. Aquest problema requereix l'ús de fraccions simples amb arrels reals de multiplicitat tres.
Determina la integral de la funció racional següent descomponent-la prèviament en una suma de fraccions més senzilles:…
Determina la integral de la funció racional següent descomponent-la prèviament en una suma de fraccions més senzilles:
$\displaystyle \int \dfrac{x + 7}{x^2 + 4x + 3} \, dx$
Arrels complexes: apareix un arctangent
Determina la integral indefinida de la funció $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Per resoldre aquest exercici, hauràs de factoritzar el denominador completament en el cos dels…
Determina la integral indefinida de la funció $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Per resoldre aquest exercici, hauràs de factoritzar el denominador completament en el cos dels nombres reals i descompondre la fracció en una suma que inclogui termes amb arrels reals simples i un terme amb arrels complexes de tipus arctangent.
Un equip d'enginyers està monitorant el flux de refrigerant en una central tèrmica. La taxa de variació del volum de líquid respecte al temps $t$ ve donada per la funció…
Un equip d'enginyers està monitorant el flux de refrigerant en una central tèrmica. La taxa de variació del volum de líquid respecte al temps $t$ ve donada per la funció $v(t) = \dfrac{4t + 10}{t^2 + 4t + 13}$. Troba l'expressió del volum total $V(t)$ sabent que en l'instant inicial ($t=0$) el dipòsit contenia $100$ litres.
Nota: Observa que el denominador no té arrels reals, per la qual cosa la solució combinarà un logaritme neperià i una arctangent.