Càlcul de determinants
Sarrus només funciona en ordre 3. Per a una matriu $4\times4$, o per estalviar càlculs en una $3\times3$ amb molts paràmetres, necessites altres eines: aprofitar els zeros, descompondre el determinant en «trossos» més petits (Laplace) o convertir la matriu en triangular abans de multiplicar-ne la diagonal.
Determinant d'una matriu triangular
Una empresa de logística utilitza una matriu triangular superior per organitzar les seves rutes de lliurament de manera eficient. Calcula el determinant de la matriu $L$…
Una empresa de logística utilitza una matriu triangular superior per organitzar les seves rutes de lliurament de manera eficient. Calcula el determinant de la matriu $L$ sabent que per a aquest tipus de matrius el càlcul se simplifica enormement:
$$L = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$Menor complementari i adjunt
Donada la matriu $M$, calcula el seu menor complementari $\alpha_{21}$ i el seu adjunt $A_{21}$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 1…
Donada la matriu $M$, calcula el seu menor complementari $\alpha_{21}$ i el seu adjunt $A_{21}$:
$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$Desenvolupament per una fila o columna: el mètode de Laplace
Calcula el valor del determinant següent d'ordre 4 desenvolupant pels elements de la fila o columna que consideris més adequada (Mètode de Laplace): $$\Delta =…
Calcula el valor del determinant següent d'ordre 4 desenvolupant pels elements de la fila o columna que consideris més adequada (Mètode de Laplace):
$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$Un sistema de posicionament GPS utilitza quatre satèl·lits per a triangular una posició en l'espai. El volum del tetraedre format pels quatre satèl·lits està relacionat…
Un sistema de posicionament GPS utilitza quatre satèl·lits per a triangular una posició en l'espai. El volum del tetraedre format pels quatre satèl·lits està relacionat amb el valor absolut del determinant de la matriu de les seves coordenades. Calcula de forma raonada el valor del determinant següent d'ordre 4, que representa una configuració específica d'aquests satèl·lits:
$$\Delta = \begin{vmatrix} a+1 & a & a & a \\ a & a+1 & a & a \\ a & a & a+1 & a \\ a & a & a & a+1 \end{vmatrix}$$Expressa el resultat com un polinomi en $a$ simplificat al màxim.
Triangular amb Gauss abans de calcular
Calcula el valor del determinant de la matriu $M$ d'ordre 4 transformant-la prèviament en una matriu triangular superior mitjançant el mètode de Gauss (fent zeros sota…
Calcula el valor del determinant de la matriu $M$ d'ordre 4 transformant-la prèviament en una matriu triangular superior mitjançant el mètode de Gauss (fent zeros sota la diagonal principal):
$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$Sabem que el determinant d'una matriu $A$ d'ordre $2 \times 2$ és $|A| = 5$. Si multipliquem tots els elements de la segona fila per $3$, quin serà el valor del nou…
Sabem que el determinant d'una matriu $A$ d'ordre $2 \times 2$ és $|A| = 5$. Si multipliquem tots els elements de la segona fila per $3$, quin serà el valor del nou determinant? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats.