Continuïtat en un interval. Classificació de discontinuïtats. Teoremes de Bolzano i Weierstrass

Estudia la continuïtat lateral de la funció següent en els extrems de l'interval $[0, 4]$:

Indica si la funció és contínua a $x=1$ comparant els seus límits laterals.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la funció següent definida a trossos sigui contínua en tot el conjunt dels nombres reals:

Donada la funció $f(x) = x^3 + x - 5$, justifica si existeix algun valor $c \in [1, 2]$ tal que $f(c) = -1$. Quin teorema garanteix aquest resultat? Enuncia aquest teorema i comprova que se'n compleixen les hipòtesis.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, estudia la seva continuïtat en els punts $x = 3$ i $x = -3$. En cas que existeixin discontinuïtats, classifica-les raonadament calculant els seus límits laterals.

Comprova si la funció $f(x) = x^3 - 3x + 1$ compleix les hipòtesis del Teorema de Bolzano en l'interval $[0, 1]$. Pots assegurar que existeix almenys una arrel de l'equació $x^3 - 3x + 1 = 0$ en aquest interval? Justifica la teva resposta.

Un equip d'enginyers està provant dos nous models de drons de vigilància, $D_1$ i $D_2$. L'altura (en metres) del dron $D_1$ respecte al terra ve donada per la funció $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, mentre que l'altura del dron $D_2$ segueix la funció $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, on $t$ és el temps en minuts des de l'enlairament ($t \geq 0$).

Utilitza el Teorema de Bolzano per demostrar que existeix un instant $t_0 \in [2, 5]$ en el qual tots dos drons es troben exactament a la mateixa altura. Justifica detalladament si podries assegurar, mitjançant el Teorema de Weierstrass, que la diferència d'altures entre tots dos drons ateny un valor màxim en aquest interval de temps.

Es considera una funció contínua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. És a dir, el domini és l'interval $[0, 1]$ i totes les seves imatges també estan contingudes a $[0, 1]$.

Demostra, fent ús del Teorema de Bolzano, que existeix almenys un punt $c \in [0, 1]$ tal que $f(c) = c$ (un punt fix de la funció). Pista: Considera la funció auxiliar $g(x) = f(x) - x$. Explica gràficament què significa aquest resultat en termes de la intersecció de la gràfica de $f(x)$ amb la bisectriu del primer quadrant.

Raona si la funció $f(x) = \frac{1}{x}$ ateny obligatòriament un màxim i un mínim absolut en els intervals següents basant-te en el Teorema de Weierstrass:

1. En l'interval tancat $[1, 5]$.

2. En l'interval obert $(0, 1)$.

Sigui la funció $f(x)$ definida a trossos com:

La figura mostra els tres trams de definició (canvien en $x=2$ i en $x=4$) i l'interval $[1, 5]$.

1. a) Calcula els valors de $a$, $b$ i $k$ perquè la funció sigui contínua en tot el seu domini $\mathbb{R}$.

1. b) Un cop trobats, raona si la funció compleix les hipòtesis del Teorema de Weierstrass en l'interval $[1, 5]$.

Sigui la funció $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$. La figura mostra la seva gràfica com a suport visual.

1. a) Expressa la funció sense valors absoluts, és a dir, definida a trossos.

1. b) Estudia la seva continuïtat en els punts on s'anul·len els arguments dels valors absoluts.

1. c) Utilitzant el Teorema de Weierstrass, demostra que la funció assoleix un màxim absolut en l'interval tancat $[-3, 3]$.

1. d) Presenta la funció alguna asímptota horitzontal? Relaciona aquest fet amb el comportament de la funció a llarg termini.

Demostra raonadament que l'equació $\sqrt{x^4 + 1} = 3x^2 \cdot \cos(x)$ té almenys dues solucions reals en l'interval $[-\pi, \pi]$. Per fer-ho, defineix una funció auxiliar adequada i aplica els teoremes de continuïtat necessaris. És possible afirmar que existeix un valor màxim absolut per a la funció $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1} - 3x^2\cos(x)}$ en l'interval $[0, \pi/4]$? Justifica la teva resposta basant-te en el Teorema de Weierstrass.

Donada la funció $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$, es demana:

1. Trobar el domini de la funció.

2. Calcular els límits laterals en el punt on la funció no està definida.

3. Classificar la discontinuïtat trobada.

4. És possible aplicar el Teorema de Bolzano en l'interval $[-1, 1]$ per demostrar que existeix un valor on $f(x) = 0,5$? Raona si la falta de continuïtat en un punt invalida l'aplicació del teorema encara que els valors en els extrems suggereixin que hauria d'existir aquest punt.