Propietats dels determinants

Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 és $|A| = -4$, utilitza les propietats dels determinants per a calcular el valor dels següents determinants:

1. a) $|A^t|$, on $A^t$ és la matriu transposada de $A$.

1. b) El determinant de la matriu resultant d'intercanviar entre si les dues primeres files de $A$.

1. c) El determinant de la matriu que s'obté en multiplicar la tercera columna de $A$ per $-5$.

Sense necessitat de fer cap operació ni d'aplicar la regla de Sarrus, justifica raonadament per què els determinants següents són nuls:

1. a) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix}$

1. b) $\begin{vmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -4 & 7 & 0 \end{vmatrix}$

1. c) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{vmatrix}$

Demostra, utilitzant les propietats dels determinants, que si a una fila d'una matriu quadrada se li suma una combinació lineal de les altres files, el valor del determinant no varia. Per a fer-ho, comprova què passa amb el determinant:

$|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

si realitzem l'operació fila $F_2 = F_2 + k \cdot F_1$.

Sigui $M$ una matriu d'ordre $3 \times 3$ tal que el seu determinant és $|M| = 2$. Calcula el valor del determinant de la matriu $3M$. Explica quina propietat has utilitzat i vigila amb l'ordre de la matriu.

En un videojoc d'estratègia, les coordenades dels recursos s'emmagatzemen en una matriu $3 \times 3$ anomenada $C$. Si sabem que $|C| = 10$, quin seria el valor del determinant si dupliquem totes les files de la matriu (és a dir, calculem $|2C|$)? Compara aquest resultat amb l'obtingut si només dupliquéssim la primera fila.

Dades dues matrius quadrades $A$ i $B$ del mateix ordre, sabem que $|A| = 3$ i $|B| = -2$. Calcula, indicant les propietats aplicades:

1. a) $|A \cdot B|$

1. b) $|B^2|$

1. c) $|A \cdot B^t|$

Si $A$ és una matriu d'ordre 3 tal que $|A| = \frac{1}{2}$, calcula el determinant de la seva matriu inversa $A^{-1}$ justificant la resposta mitjançant la propietat del determinant del producte de matrius.

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre 3 tal que el seu determinant és $|A| = -2$. Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, calcula el valor dels següents determinants:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3 \cdot A^{-1}|$

1. c) $|\text{det}(A) \cdot A|$