Probabilitat condicionada
"Quina és la probabilitat que plogui?" no és la mateixa pregunta que "quina és la probabilitat que plogui, sabent que el cel està ennuvolat?". Saber alguna cosa sobre l'experiment canvia l'espai de possibilitats: ja no compts amb tots els casos, només amb els que són compatibles amb el que saps. Aquesta és la idea d'aquest apartat, i és la base de tot el que ve després (arbres, taules, Bayes).
Què és P(A|B)
En una convenció d'aficionats al món del gaming*, se sorteja una consola d'última generació entre els assistents. Hi participen 120 persones de Madrid, 80 de Barcelona i…
En una convenció d'aficionats al món del gaming, se sorteja una consola d'última generació entre els assistents. Hi participen 120 persones de Madrid, 80 de Barcelona i 50 de València. A més, se sap que el 60 % dels participants totals són menors de 18 anys. Si es tria un guanyador a l'atzar, calcula:
- a) L'espai mostral associat a l'origen dels participants.
- b) La probabilitat que el guanyador sigui de Madrid.
- c) La probabilitat que el guanyador sigui major d'edat.
La probabilitat composta: P(A∩B) = P(A)·P(B|A)
Aïllant la definició anterior s'obté la fórmula que realment s'usa per calcular interseccions pas a pas, sobretot en extraccions successives.
Una urna conté 5 boles blanques i 3 boles negres. S'extreuen successivament dues boles amb reemplaçament (es torna la primera abans de treure la segona). Representa la…
Una urna conté 5 boles blanques i 3 boles negres. S'extreuen successivament dues boles amb reemplaçament (es torna la primera abans de treure la segona). Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre i calcula:
- a) La probabilitat que totes dues boles siguin blanques.
- b) La probabilitat que la primera sigui negra i la segona blanca.
- c) La probabilitat que les dues boles siguin del mateix color.
Successos independents
Siguin $A$ i $B$ dos successos independents associats a un experiment aleatori, tals que $P(A) = 0,4$ i $P(B) = 0,5$. Troba les probabilitats següents: a) $P(A \cap B)$…
Siguin $A$ i $B$ dos successos independents associats a un experiment aleatori, tals que $P(A) = 0,4$ i $P(B) = 0,5$. Troba les probabilitats següents:
- a) $P(A \cap B)$
- b) $P(A \cup B)$
- c) $P(A|B)$
- d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$
Llegir la condicionada en una taula de contingència
Es realitza un estudi sobre la possessió de mascotes en un grup de 100 persones. Els resultats es recullen en la taula de contingència següent: | | Té gos ($D$) | No té…
Es realitza un estudi sobre la possessió de mascotes en un grup de 100 persones. Els resultats es recullen en la taula de contingència següent:
| Té gos ($D$) | No té gos ($\bar{D}$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Té gat ($G$) | 15 | 25 | |
| No té gat ($\bar{G}$) | 35 | ||
| Total | 100 |
- a) Completa la taula de contingència.
- b) Si triem una persona a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui gos i gat?
- c) Sabent que la persona triada té gos, quina és la probabilitat que també tingui gat?
Operacions combinades i el cas difícil d'examen
Les preguntes d'examen poques vegades donen $P(A|B)$ directament: solen donar $P(A)$, $P(B)$ i $P(\overline A \cap \overline B)$ (o $P(A\cup B)$) i demanar deduir la resta, a més de decidir si hi ha independència.
En un laboratori de biotecnologia s'investiga la resistència d'un bacteri a dos tipus d'antibiòtics, $A$ i $B$. Se sap que la probabilitat que el bacteri sigui resistent…
En un laboratori de biotecnologia s'investiga la resistència d'un bacteri a dos tipus d'antibiòtics, $A$ i $B$. Se sap que la probabilitat que el bacteri sigui resistent a l'antibiòtic $A$ és $P(A) = 0,65$ i la probabilitat que sigui resistent a l'antibiòtic $B$ és $P(B) = 0,48$. A més, s'ha determinat que la probabilitat que no sigui resistent a cap dels dos és del $12\%$.
Calcula raonadament:
- a) La probabilitat que el bacteri sigui resistent a $A$ sabent que és resistent a $B$.
- b) La probabilitat que sigui resistent a només un dels dos antibiòtics.
- c) Són els successos "ser resistent a $A$" i "ser resistent a $B$" independents? Justifica la teva resposta mitjançant càlculs.
Es tiren simultàniament dos daus equilibrats de sis cares. Calcula la probabilitat dels successos següents: a) Obtenir una suma de punts igual a 7. b) Sabent que en el…
Es tiren simultàniament dos daus equilibrats de sis cares. Calcula la probabilitat dels successos següents:
- a) Obtenir una suma de punts igual a 7.
- b) Sabent que en el primer dau ha sortit un nombre parell, quina és la probabilitat que la suma sigui 7?
- c) Són els successos "suma igual a 7" i "primer dau parell" independents? Justifica la teva resposta comparant $P(S=7|Par)$ amb $P(S=7)$.
Torna al principi: Saber que el cel està ennuvolat ($N$) restringeix l'espai mostral a aquests dies: la probabilitat de pluja ($L$) s'actualitza a $P(L|N) = \dfrac{P(L \cap N)}{P(N)}$, un valor habitualment molt més gran que la probabilitat general a priori $P(L)$.