Càlcul de límits

Resol la indeterminació de tipus $\frac{0}{0}$ simplificant la fracció mitjançant la factorització dels polinomis (pots utilitzar identitats notables o la regla de Ruffini):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

Calcula el límit següent resolent la indeterminació de tipus $\infty - \infty$ mitjançant l'ús de l'expressió conjugada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$$

Representa gràficament de forma esquemàtica què significa aquest resultat respecte a la distància entre la funció radical i la recta $y = x$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula el límit en el punt $x = 0$ de la següent expressió trigonomètrica, utilitzant infinitèsims equivalents o identitats trigonomètriques conegudes:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \text{tg}(3x)}{\cos(x) - 1}$$

Basant-te en la comparació d'ordres d'infinitud, determina el valor dels límits següents sense realitzar operacions complexes:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

Estudia el comportament de la funció $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ quan $x$ s'aproxima a zero. Per a fer-ho, calcula:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Explica per què aquest límit dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$ i resol utilitzant logaritmes neperians o la fórmula específica per a aquest tipus de límits.

Un servidor de videojocs multijugador ha detectat que el nombre d'usuaris actius, $N(t)$, en milers, segueix un model de creixement de tipus exponencial en funció del temps $t$ (en mesos) definit per l'expressió:

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calcula el límit d'usuaris actius quan el temps tendeix a infinit ($t \to +\infty$). S'estabilitza la població de jugadors en un valor finit o creix indefinidament?

Sigui la funció $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$.

1. a) Calcula el valor de $k$ perquè el límit de la funció quan $x \to 2$ sigui finit.

1. b) Un cop trobat $k$, calcula aquest límit.

1. c) Classifica el tipus de discontinuïtat que presenta la funció en $x = 2$ i en $x = -2$.

Donada la funció racional que depèn d'un paràmetre $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Troba el valor de $k$ perquè el límit $\lim_{x \to 2} f(x)$ sigui finit. Una vegada trobat aquest valor, calcula el valor del límit.

Calcula el valor del límit següent aplicant la comparació d'infinits o la Regla de L'Hôpital, analitzant detalladament l'ordre de magnitud de cada terme:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

Quin terme domina el creixement de la funció al numerador i quin al denominador?

Calcula el valor dels límits següents comparant els ordres d'infinitud de les funcions involucrades (exponencials, potències i logaritmes):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^{10} + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$