Tipus de funcions

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, realitza un estudi bàsic del seu comportament seguint aquests passos:

1. a) Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades.
2. b) Troba els intervals de creixement i decreixement utilitzant la primera derivada $f'(x)$.
3. c) Determina les coordenades $(x, y)$ dels seus màxims i mínims relatius.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ tingui un punt d'inflexió a $x = 1$ i el pendent de la recta tangent en aquest punt sigui $1$. Un cop trobats els paràmetres:

1. a) Estudia la monotonia de la funció resultant.

1. b) Determina si té algun màxim o mínim relatiu.

1. c) Justifica si la funció té asímptotes.

Considera la funció racional $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Per comprendre'n l'estructura abans de representar-la, analitza'n els elements principals. La figura mostra part de la seva gràfica; les marques dels eixos estan separades 1 unitat.

1. a) Determina'n el domini de definició.

1. b) Calcula les equacions de les seves asímptotes verticals i horitzontals.

1. c) Estudia la simetria de la funció. És parell, senar o no presenta simetria?

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, fes un estudi complet per a la seva representació gràfica seguint aquests passos:

1. a) Troba el domini de definició i els punts de tall amb els eixos de coordenades.

1. b) Estudia l'existència de simetries en la funció.

1. c) Determina les asímptotes verticals, horitzontals i la posició de la corba respecte a elles.

1. d) Calcula els intervals de creixement i decreixement, i determina els seus màxims i mínims relatius.

1. e) Esbossa la gràfica de la funció basant-te en els resultats anteriors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Es demana:

1. Trobar les equacions de les seves asímptotes. En cas que existeixi una asímptota obliqua, determina la posició de la corba respecte d'aquesta quan $x \to +\infty$ i $x \to -\infty$.

2. Trobar els intervals de concavitat i convexitat, i comprovar si existeixen punts d'inflexió.

3. Utilitzar la informació del creixement i els extrems per dibuixar un esquema precís de la gràfica.

Les funcions amb valors absoluts solen presentar punts on la gràfica canvia bruscament de direcció. Sigui la funció $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Expressa la funció com una funció definida a trossos.

1. b) Indica el punt de la gràfica on la funció és contínua però no és derivable (punt angulós).

1. c) Esbossa la seva gràfica indicant el vèrtex.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció amb valor absolut $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. a) Expressa la funció com una funció definida a trossos.

1. b) Estudia la derivabilitat de la funció en els punts $x = 1$ i $x = 3$. Què passa geomètricament en aquests punts?

1. c) Troba els extrems relatius de la funció i representa-la gràficament.

El domini d'una funció és fonamental per a la seva representació. Troba el domini de les funcions transcendents següents:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Explica breument per què hi ha restriccions en cada cas.

Un biòleg estudia l'evolució d'una població de bacteris en un entorn controlat. La quantitat de bacteris (en milers) ve donada per la funció $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, on $t$ és el temps en hores des de l'inici de l'experiment ($t \geq 0$). La figura mostra la gràfica de $P(t)$.

1. a) Quina població hi ha a l'inici de l'experiment ($t = 0$)?

1. b) Quin és el límit de la població quan el temps creix indefinidament? Interpreta el resultat en termes d'asímptotes.

1. c) La població augmenta o disminueix amb el temps? Justifica la teva resposta utilitzant la derivada $P'(t)$.

Sigui la funció $f(x) = (x - 2)e^x$. Realitza un estudi detallat d'aquesta per representar-la gràficament, incloent-hi:

1. Domini i punts de tall amb els eixos.

2. Asímptotes horitzontals i comportament a l'infinit.

3. Intervals de monotonia i extrems relatius.

4. Punts d'inflexió i curvatura.

Estudia i representa la funció logarítmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. En la teva anàlisi has d'incloure:

1. Demostració que la funció és parell. Com afecta això a la seva representació?

2. Determinació dels intervals de creixement i decreixement.

3. Estudi de la curvatura i cerca de punts d'inflexió.

4. Té la funció asímptotes de algun tipus? Justifica la teva resposta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Estudia la continuïtat i derivabilitat de la funció a $x = 0$.

2. Troba les asímptotes de la funció en el seu domini de definició.

3. Calcula els mínims i màxims locals de cada tram en el seu interval corresponent.

4. Esboça la gràfica de la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b x & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Fes un estudi complet de la funció seguint aquests passos:

1. Troba els valors d'$a$ i $b$ perquè la funció sigui contínua a $x = -2$ i tingui un extrem relatiu a $x = -1$.

2. Per als valors trobats, estudia la derivabilitat a $x = -2$ i $x = 0$.

3. Calcula les asímptotes de la funció en tot el seu domini.

4. Determina els intervals de creixement i decreixement, així com els màxims i mínims relatius a l'interval $(-\infty, 0)$.

Donada la funció $f(x) = x^4 - 2x^2$, estudia la seva curvatura realitzant els passos següents:

1. a) Calcula la segona derivada $f''(x)$.
2. b) Troba els intervals de concavitat ($\cup$) i convexitat ($\cap$).
3. c) Troba els punts d'inflexió de la funció.

Considera la funció $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Calcula els punts de tall amb els eixos i les asímptotes de la funció.

2. Determina els intervals de monotonia i els extrems locals (màxims i mínims).

3. Troba els intervals de curvatura i els punts d'inflexió.

4. Sabent que $e^{-2} \approx 0,135$ i $e^0 = 1$, fes un esborrany de la gràfica de la funció.

5. Calcula l'àrea del triangle format per l'origen de coordenades i els punts de la gràfica on la tangent és horitzontal.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa l'esbós de la gràfica d'una funció contínua $f(x)$ que compleixi simultàniament les vuit condicions següents:

• El seu domini és $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Té una asímptota vertical a $x = 1$ tal que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Té una asímptota obliqua $y = x$ quan $x \to +\infty$.

• Té una asímptota horitzontal $y = -2$ quan $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ en l'interval $(-\infty, -2)$ i $f'(x) > 0$ en $(-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Presenta un mínim relatiu en el punt $(-2, -4)$.

• $f''(x) > 0$ en $(-3, 1)$ i $f''(x) < 0$ en $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

• Talla l'eix $OX$ únicament en els punts $x = 0$ i $x = 2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.