Dependència i independència. Bases
Al pla, dos vectors no paral·lels bastaven per descriure qualsevol altre. A l'espai cal un vector més: amb només dos, per molt independents que siguin, mai no surts del pla que ells mateixos formen. Aquest apartat respon dues preguntes: quan són realment independents tres vectors? I, si ho són, com s'utilitzen per donar coordenades a qualsevol altre vector?
Dependència i independència de dos vectors
Dos drons de vigilància es desplacen per l'espai seguint trajectòries rectilínies definides pels vectors $\vec{u} = (2, -4, 6)$ i $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determina si…
Dos drons de vigilància es desplacen per l'espai seguint trajectòries rectilínies definides pels vectors $\vec{u} = (2, -4, 6)$ i $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determina si els drons es mouen en direccions paral·leles analitzant la dependència lineal dels seus vectors directors.
Un sistema de sensors làser requereix que dos feixos de llum siguin paral·lels. El primer feix segueix la direcció del vector $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ i el segon la del…
Un sistema de sensors làser requereix que dos feixos de llum siguin paral·lels. El primer feix segueix la direcció del vector $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ i el segon la del vector $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Troba el valor del paràmetre $k$ perquè els vectors siguin linealment dependents i, per tant, els feixos siguin paral·lels.
El determinant: dependència de tres vectors
Donats els vectors $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ i $\vec{w} = (3, 2, 4)$, demostra sense realitzar càlculs complexos (observant la relació entre les seves…
Donats els vectors $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ i $\vec{w} = (3, 2, 4)$, demostra sense realitzar càlculs complexos (observant la relació entre les seves components) que el conjunt $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ és linealment dependent.
Comprova si els vectors $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ i $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ poden formar una base de $\mathbb{R}^3$. Per a fer-ho, justifica si…
Comprova si els vectors $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ i $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ poden formar una base de $\mathbb{R}^3$. Per a fer-ho, justifica si són linealment independents utilitzant el determinant de la matriu que formen.
Raona la veracitat o falsedat de la següent afirmació: "En l'espai tridimensional $\mathbb{R}^3$, qualsevol conjunt format per quatre vectors no nuls és sempre…
Raona la veracitat o falsedat de la següent afirmació: "En l'espai tridimensional $\mathbb{R}^3$, qualsevol conjunt format per quatre vectors no nuls és sempre linealment dependent". Posa un exemple senzill per donar suport a la teva resposta.
Base de l'espai
En un motor gràfic d'un videojoc, la posició d'un objecte es defineix mitjançant la combinació lineal de dos vectors bàsics: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ i…
En un motor gràfic d'un videojoc, la posició d'un objecte es defineix mitjançant la combinació lineal de dos vectors bàsics: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ i $\vec{b} = (0, -1, 3)$. Calcula les coordenades del vector resultant $\vec{w}$ si s'aplica la següent operació:
$$\vec{w} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$$Si un vector $\vec{v}$ té de coordenades $(3, -2, 5)$ respecte a la base canònica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, expressa'l com una combinació lineal d'aquests vectors…
Si un vector $\vec{v}$ té de coordenades $(3, -2, 5)$ respecte a la base canònica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, expressa'l com una combinació lineal d'aquests vectors unitaris.
Coordenades respecte a una altra base
Considera els punts de l'espai $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 1)$ i $C(2, 0, m)$. a) Troba el vector $\vec{AB}$ i el vector $\vec{AC}$. b) Determina el valor de $m$ perquè el…
Considera els punts de l'espai $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 1)$ i $C(2, 0, m)$.
- a) Troba el vector $\vec{AB}$ i el vector $\vec{AC}$.
- b) Determina el valor de $m$ perquè el vector $\vec{v} = (3, -3, -3)$ sigui linealment dependent de $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$.
- c) Per al valor de $m$ trobat, escriu $\vec{v}$ com a combinació lineal de $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$.
Donats els vectors de la base canònica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, es defineixen els vectors: $$\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} \quad , \quad \vec{v} = \vec{j} +…
Donats els vectors de la base canònica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, es defineixen els vectors:
$$\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} \quad , \quad \vec{v} = \vec{j} + \vec{k} \quad , \quad \vec{w} = \vec{i} + \vec{k}$$Justifica si el conjunt $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ és una base de $\mathbb{R}^3$. Si un vector $\vec{x}$ té coordenades $(1, 2, 3)$ en la base canònica, quines seran les seves coordenades en la base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?
Torna al principi: Tres vectors són independents si el seu determinant no és nul ($\det(\vec u,\vec v,\vec w)\neq 0$), la qual cosa garanteix que no són coplanaris; a partir d'ells, qualsevol vector $\vec x$ s'expressa de manera única resolent el sistema $\vec x=a\vec u+b\vec v+c\vec w$ per trobar-ne les coordenades $(a,b,c)$ en aquesta base.