Indeterminacions
Ja coneixes les peces soltes: factoritzar, el conjugat, els infinitèsims, el nombre $e$. Aquest apartat les organitza en un catàleg tancat d'indeterminacions i entrena els casos on dues tècniques es combinen: arrels d'índex diferent, paràmetres que han de donar un resultat concret, i exponents que amaguen un $1^\infty$ amb variables.
El catàleg complet d'indeterminacions
En substituir $x=a$ (o $x\to\infty$) en un límit, només hi ha un nombre tancat de resultats que no permeten concloure res sense transformar abans l'expressió.
Observa la gràfica següent de la funció $f(x)$ i determina, de manera intuïtiva, el valor dels límits indicats. Si algun límit no existeix o és infinit, especifica-ho…
Observa la gràfica següent de la funció $f(x)$ i determina, de manera intuïtiva, el valor dels límits indicats. Si algun límit no existeix o és infinit, especifica-ho clarament.
- a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
- b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
- c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
- d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
$\dfrac{\infty}{\infty}$: comparar graus i jerarquia
Quan numerador i denominador tendeixen tots dos a infinit, el resultat depèn de qui "guanya": compara graus en polinomis, o fes servir la jerarquia d'infinits si hi ha exponencials, logaritmes o factorials barrejats.
Resol la indeterminació de tipus $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en els límits següents de funcions racionals, comparant els graus del numerador i del denominador:…
Resol la indeterminació de tipus $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en els límits següents de funcions racionals, comparant els graus del numerador i del denominador:
- a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
- b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
- c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$
Determina el valor del límit a l'infinit analitzant el grau dels termes dominants al numerador i al denominador. Tingues especial cura amb les potències dins de les…
Determina el valor del límit a l'infinit analitzant el grau dels termes dominants al numerador i al denominador. Tingues especial cura amb les potències dins de les arrels:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 1} + 2x}{\sqrt[3]{x^3 + 5x^2}}$$Utilitza la comparació d'ordres d'infinits per a resoldre els límits següents sense necessitat de realitzar operacions extenses. Justifica la teva resposta indicant…
Utilitza la comparació d'ordres d'infinits per a resoldre els límits següents sense necessitat de realitzar operacions extenses. Justifica la teva resposta indicant quina funció "domina" l'altra:
- a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$
- b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$
$\infty-\infty$ amb arrels d'índex diferent: el doble conjugat
Si la resta que dona $\infty-\infty$ barreja una arrel quadrada i una de cúbica (o qualsevol parell d'índexs diferents), un únic conjugat no n'hi ha prou: cal aplicar la tècnica dues vegades, una per a cada tipus d'arrel.
Resol el límit següent utilitzant la tècnica del doble conjugat per resoldre la indeterminació $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{4+x}…
Resol el límit següent utilitzant la tècnica del doble conjugat per resoldre la indeterminació $\frac{0}{0}$:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{4+x} - 2}$$Calcula el valor de la següent expressió que presenta una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ amb arrels de diferent ordre: $$\lim_{x \to +\infty} \left[…
Calcula el valor de la següent expressió que presenta una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ amb arrels de diferent ordre:
$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt{x^2 + 4x} - \sqrt[3]{x^3 - 6x^2} \right]$$Resol la següent indeterminació de tipus $\infty - \infty$. Per a fer-ho, realitza l'operació algebraica prèvia i simplifica l'expressió resultant: $$\lim_{x \to 1}…
Resol la següent indeterminació de tipus $\infty - \infty$. Per a fer-ho, realitza l'operació algebraica prèvia i simplifica l'expressió resultant:
$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{6}{x^2 - 1} - \frac{3}{x - 1} \right)$$$1^\infty$ amb paràmetres
Quan la base i l'exponent d'un $1^\infty$ depenen d'un paràmetre, primer s'identifica la indeterminació com sempre, i després es fa servir la fórmula del nombre $e$ deixant el paràmetre dins del càlcul de $L$.
En el desenvolupament d'una nova xarxa social, el nombre d'usuaris actius (en milions) segueix la funció $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, on $t$ és el…
En el desenvolupament d'una nova xarxa social, el nombre d'usuaris actius (en milions) segueix la funció $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, on $t$ és el temps en mesos des del llançament (amb $t>\frac{1}{2}$). Calcula a quin valor tendeix el nombre d'usuaris quan el temps creix indefinidament ($t \to +\infty$).
Calcula el valor del límit exponencial següent que dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$. Expressa el resultat en funció del nombre $e$: $$\lim_{x \to 0}…
Calcula el valor del límit exponencial següent que dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$. Expressa el resultat en funció del nombre $e$:
$$\lim_{x \to 0} (1 + \sin(x))^{\frac{2}{x}}$$Calcula el valor del límit següent que dona lloc a la indeterminació del tipus $[1^\infty]$ utilitzant la fórmula abreujada del nombre $e$: $$\lim_{x \to +\infty} \left(…
Calcula el valor del límit següent que dona lloc a la indeterminació del tipus $[1^\infty]$ utilitzant la fórmula abreujada del nombre $e$:
$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{3x}$$Paràmetres perquè un límit sigui finit i no nul
L'exercici més complet d'aquest catàleg: trobar $a$ i $b$ perquè un límit indeterminat doni, alhora, un resultat finit i diferent de zero. Normalment cal imposar dues condicions.
Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè es compleixi la igualtat següent: $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + ax + b} - 2}{x^2 - 5x + 6} =…
Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè es compleixi la igualtat següent:
$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + ax + b} - 2}{x^2 - 5x + 6} = -\frac{1}{2}$$És a dir, el límit ha de ser un nombre real finit i valer $-\dfrac{1}{2}$. Un cop trobats $a$ i $b$, comprova que el límit val realment $-\dfrac{1}{2}$.
Troba el valor dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè el límit següent sigui finit i valgui $4$: $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + ax + 1} - \sqrt{x^2 + bx}$$
Troba el valor dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè el límit següent sigui finit i valgui $4$:
$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + ax + 1} - \sqrt{x^2 + bx}$$