Successions; límit d'una successió

Donada la successió $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demostra mitjançant la definició formal de límit ($\varepsilon$ i $N$) que el seu límit és $L = 3$.

Per a fer-ho, per a un valor de $\varepsilon = 0,001$, determina a partir de quin terme $N$ de la successió es compleix que $|a_n - L| < \varepsilon$.

En l'estudi d'algorismes de computació, és fonamental conèixer la velocitat a la qual creixen certes funcions. Calcula el límit de la successió següent comparant els ordres d'infinitud dels diferents termes (factorials, exponencials i potències):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$

Explica raonadament quin terme domina al numerador i quin al denominador per a justificar el teu resultat.

Donades les successions següents, utilitza la jerarquia d'infinits per a determinar, sense realitzar operacions algebraiques extenses, quin és el valor del seu límit quan $n \to \infty$:

1. a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0,5^n}$

1. b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$

1. c) $d_n = \frac{1,02^n}{n^{1000} + 5n}$

Utilitzant la comparació d'ordres d'infinitud (exponencial enfront de polinòmica), troba el límit de la successió:

$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$

Utilitza el Teorema del Sandvitx (o Teorema de l'existència de límit per acotació) per a trobar el valor del límit de la successió $a_n$ definida per la suma de fraccions següent:

$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$

Es defineix una successió de forma recurrent mitjançant la fórmula:

$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$

Suposant que la successió és convergent (pots visualitzar el seu comportament en el diagrama de sota), calcula el valor exacte del seu límit $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.

Estudia el comportament de la successió recurrent definida per:

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$

Si suposem que la successió és convergent i que el seu límit és $L$ ($L > 0$), calcula aquest valor resolent l'equació $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right)$. A quina constant irracional famosa correspon aquest resultat?

Un dron de vigilància està programat per a realitzar una sèrie de salts en línia recta. En el primer segon recorre $d$ metres. En cada segon posterior, recorre una distància que és la meitat de la distància recorreguda en el segon anterior més un metre extra per a compensar el vent. Si $x_n$ és la distància total acumulada després de $n$ segons:

1. a) Troba l'expressió del terme general de la distància recorreguda en cada segon $a_n$.
2. b) Determina la distància que recorrerà el dron en un segon donat quan $n$ tendeix a infinit (és a dir, $\lim_{n \to \infty} a_n$).

Calcula el valor del límit següent d'una successió que presenta una indeterminació del tipus $1^\infty$, prestant especial atenció a la manipulació algebraica de la base i l'exponent:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$

Determina el límit de la successió següent, la qual involucra una diferència d'arrels de diferent índex (cúbica i quadrada). Per a resoldre'l, hauràs de forçar l'aparició d'un factor comú o utilitzar la tècnica de sumar i restar un terme intermedi que permeti separar l'expressió en dos límits tractables:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$

Troba els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè es compleixi la igualtat següent entre el límit de la successió i el valor indicat:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$