Rang d'una matriu

Determina el rang de la següent matriu $A$ observant la relació entre les seves files:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcula el rang de la matriu $B$ buscant el menor de major ordre que sigui diferent de zero:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

1. a) Indica quin és el major ordre possible d'un menor de $B$ i quants menors d'aquest ordre es poden formar.

1. b) Calcula un d'aquests menors i comprova si és diferent de zero.

1. c) Escriu el rang de $B$ i justifica la teva resposta.

En la matriu $C$, identifica l'element $a_{23}$ i calcula el seu adjunt (cofactor) $A_{23}$:

$$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Troba el valor del determinant de la matriu $B$ utilitzant la regla de Sarrus:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Determina el rang de la matriu $B$ segons els valors del paràmetre real $a$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

Recorda que per a una matriu de dimensions $3 \times 4$, el rang màxim possible és $3$.

Un enginyer de robòtica està programant el moviment d'un braç mecànic en l'espai tridimensional. Els sensors detecten tres vectors de força que determinen l'estabilitat del sistema. La matriu que representa aquestes forces és:

$$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k & k \end{pmatrix}$$

Es demana:

1. Determina el rang de la matriu $M$ en funció del paràmetre real $k$.

2. Existeix algun valor de $k$ per al qual les forces siguin linealment dependents però el rang de la matriu sigui màxim? Explica la teva resposta basant-te en la teoria de menors.

Estudia el rang de la matriu següent $A$ en funció dels possibles valors del paràmetre real $k$:

$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

Determina per a quins valors de $k$ el rang és $1$, $2$ o $3$.

Estudia la dependència lineal de les files de la matriu $A$ segons els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b & 1 \end{pmatrix}$$

Determina per a quins valors de $(a, b)$ el rang de $A$ és igual a 1. Descriu geomètricament quina relació guarden els vectors fila quan això passa.

En el disseny d'un motor gràfic per a un videojoc, es requereix que una matriu de transformació $M$ sigui invertible per a poder desfer moviments. Donada la matriu:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$

1. a) Troba els valors del paràmetre real $m$ per als quals la matriu $M$ no té inversa.

1. b) Per al valor $m = 2$, calcula el valor del determinant de la matriu inversa, $|M^{-1}|$.

Donades les matrius $A$ i $B$ d'ordre $3 \times 3$, se sap que $A$ té rang $3$ i que el determinant de $B$ és $|B| = 0$.

1. a) Quin és el valor del determinant del producte $|A \cdot B|$? Raona la resposta.

1. b) És possible que el rang de la matriu producte $A \cdot B$ sigui $3$? Explica per què basant-te en la relació entre el determinant i el rang.