Simetries a l'espai

En un programari de disseny de videojocs, un objecte situat en el punt $P(4, -2, 6)$ s'ha de reflectir respecte d'un punt de control (centre de simetria) ubicat a $M(1, 3, 2)$. Calcula les coordenades del punt simètric $P'$ on apareixerà l'objecte reflectit.

Es sap que el punt $A'(0, 8, -4)$ és el simètric de $A(2, -2, 6)$ respecte d'un centre de simetria $C$. Determina les coordenades del dit centre $C$ utilitzant la relació de punt mitjà.

Calcula el punt simètric de $Q(3, -5, 7)$ respecte al pla coordenat $XY$.

Pista: Recorda que l'equació del pla $XY$ és $z = 0$.

Atès el punt $P(1, 0, 1)$, troba el seu simètric respecte del pla $\pi: x + y + z = 5$ seguint aquests passos:

1. Troba la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que passa per $P$.

2. Calcula el punt d'intersecció $M$ entre la recta $r$ i el pla $\pi$ (peu de la perpendicular).

3. Utilitza $M$ com a punt mitjà per a trobar el simètric $P'$.

Calcula les coordenades del punt $Q$, que és el simètric del punt $P(1, 0, 5)$ respecte del pla d'equació $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Explica breument els passos seguits (obtenció de la recta perpendicular, punt de tall i punt mitjà).

Troba el punt simètric de $P(1, 2, 3)$ respecte de la recta $r$ que coincideix amb l'eix $OX$.

Calcula el punt simètric de $B(5, 5, 5)$ respecte a la recta $s$ donada per:

Nota: Aquesta és una recta vertical, paral·lela a l'eix $OZ$, que passa pel punt $(1, 2, 0)$.

La figura mostra la vista des de dalt (pla $XY$): la recta $s$, en ser vertical, es veu com un punt, i també es veu la projecció de $B$.

Donada la recta $r$ definida per les equacions paramètriques:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Troba el punt simètric de $A(3, 2, 1)$ respecte de la dita recta.

Es projecta un feix de llum làser que segueix la trajectòria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. El raig incideix sobre una superfície metàl·lica polida situada en el pla $XY$ (pla $z=0$). Calcula l'equació de la recta $s$ que conté el raig reflectit.

Nota: La recta reflectida és la simètrica de la recta incident respecte del pla d'incidència.

Considera els punts $A(1, 1, 1)$ i $B(3, 5, 5)$. Troba l'equació del pla $\pi$ que actua com a "pla de simetria" entre tots dos punts (és a dir, el pla respecte del qual $A$ i $B$ són simètrics).