Resolució de sistemes i regla de Cramer
Fins ara, per resoldre un sistema de tres incògnites el triangulaves amb Gauss. La regla de Cramer ofereix una fórmula directa: cada incògnita és un quocient de dos determinants. No substitueix Gauss —hi ha sistemes on Gauss és més ràpid— però és imprescindible quan el sistema porta un paràmetre, perquè et permet aïllar sense haver de seguir tots els passos de la triangulació.
Sistema de Cramer: quan $|A| \ne 0$
Un nutricionista dissenya una dieta personalitzada per a un atleta combinant tres tipus d'aliments ($A, B$ i $C$). Les quantitats de proteïnes, carbohidrats i greixos…
Un nutricionista dissenya una dieta personalitzada per a un atleta combinant tres tipus d'aliments ($A, B$ i $C$). Les quantitats de proteïnes, carbohidrats i greixos per unitat d'aliment venen donades pel sistema d'equacions següent, on $x, y, z$ representen les unitats de cada aliment necessàries per assolir els objectius diaris:
$\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}$
- a) Escriu la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $A^*$.
- b) Comprova que el sistema és de Cramer calculant el determinant de $A$.
- c) Troba el valor de la incògnita $x$ aplicant exclusivament la regla de Cramer.
La regla de Cramer
Dos amics, Lucía i Marcos, estan comparant les seves subscripcions a plataformes de streaming. La Lucía paga per un pla de "Cine" i dos de "Series" un total de $16$ € al…
Dos amics, Lucía i Marcos, estan comparant les seves subscripcions a plataformes de streaming. La Lucía paga per un pla de "Cine" i dos de "Series" un total de $16$ € al mes. En Marcos, per la seva banda, té contractats dos plans de "Cine" i un de "Series" per $17$ € mensuals. La figura resumeix els plans que té cadascun.
- a) Expressa la situació mitjançant un sistema de dues equacions amb dues incògnites (anomena $x$ el preu mensual del pla de Cine i $y$ el del pla de Series).
- b) Calcula el determinant de la matriu de coeficients.
- c) Resol el sistema utilitzant la Regla de Cramer per trobar el preu mensual de cada pla.
Cramer amb tres incògnites
El procediment és idèntic amb un sistema $3\times3$: quatre determinants d'ordre $3$ ($|A|$, $|A_x|$, $|A_y|$, $|A_z|$) en comptes de quatre d'ordre $2$. La feina creix, però la lògica —substituir una columna i dividir— no canvia.
En un torneig d'E-sports, s'atorguen punts per partides guanyades ($x$), empatades ($y$) i per objectius secundaris complerts ($z$). Un equip ha obtingut els resultats…
En un torneig d'E-sports, s'atorguen punts per partides guanyades ($x$), empatades ($y$) i per objectius secundaris complerts ($z$). Un equip ha obtingut els resultats següents en tres jornades:
-
Jornada 1: $1$ victòria, $1$ empat i $1$ objectiu secundari = $10$ punts.
-
Jornada 2: $2$ victòries i $1$ empat = $13$ punts.
-
Jornada 3: $1$ victòria i $2$ objectius secundaris = $11$ punts.
- a) Planteja el sistema d'equacions associat.
- b) Resol-lo mitjançant la regla de Cramer per determinar quants punts val cada concepte.
Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant la regla de Cramer: $\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = 8 \end{cases}$ Per a fer-ho,…
Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant la regla de Cramer:
$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = 8 \end{cases}$
Per a fer-ho, identifica primer la matriu de coeficients $A$ i calcula el seu determinant. Posteriorment, obtén els determinants de les matrius auxiliars $A_x$, $A_y$ i $A_z$ per trobar el valor de les incògnites.
Cramer en problemes i equacions matricials
Cramer també serveix per resoldre una sola incògnita sense calcular les altres: si només et demanen $z$, n'hi ha prou amb $|A|$ i $|A_z|$. Això és especialment útil dins de problemes més grans, com en aïllar una columna d'una equació matricial.
Donades les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: a) Determina…
Donades les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:
- a) Determina els valors del paràmetre real $m$ per als quals la matriu $A$ és invertible.
- b) Per a $m = 0$, resol l'equació matricial $A \cdot X + B = 2B$, on $X$ és una matriu de dimensions adequades.
- c) Planteja un sistema d'equacions que permeti calcular la primera columna de la matriu $X$ i resol-lo mitjançant la regla de Cramer.