Teorema fonamental del càlcul integral i regla de Barrow
En l'apartat anterior has calculat algunes integrals definides a força de sumar rectangles o de comparar amb fórmules geomètriques. Per a una funció qualsevol això és inviable. El teorema fonamental del càlcul connecta la integral (àrea) amb la derivada (pendent) i et dona, per fi, un mètode ràpid: la regla de Barrow.
La funció definida per una integral
Fixa l'extrem inferior $a$ i deixa que el superior variï: per a cada $x$, $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ és l'àrea acumulada des d'$a$ fins a $x$. $F$ és una funció nova, una per a cada valor de $x$.
Dada una funció $f(x)$ contínua en l'interval $[1, 8]$, es coneixen els valors de les integrals definides següents: $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$ $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$…
Dada una funció $f(x)$ contínua en l'interval $[1, 8]$, es coneixen els valors de les integrals definides següents:
-
$\int_1^5 f(x) \, dx = 7$
-
$\int_5^8 f(x) \, dx = -3$
Utilitza les propietats de la integral definida per a calcular el valor de $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.
El teorema fonamental del càlcul
Aquí és la peça que connecta tot el bloc d'anàlisi: la derivada d'aquesta funció "àrea acumulada" és, senzillament, la funció original.
Quan el límit superior no és $x$ sinó una funció de $x$ (per exemple $x^2$), s'aplica a més la regla de la cadena.
Un programador de videojocs està dissenyant la trajectòria d'un projectil. La velocitat de l'objecte en funció del temps $t$ ve donada per l'expressió…
Un programador de videojocs està dissenyant la trajectòria d'un projectil. La velocitat de l'objecte en funció del temps $t$ ve donada per l'expressió $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.
Aplica el teorema fonamental del càlcul integral per a trobar l'expressió de l'acceleració instantània $a(t)$, sabent que l'acceleració és la derivada de la velocitat respecte del temps ($a(t) = v'(t)$).
Calcula la funció derivada $F'(x)$ de la funció integral següent utilitzant el teorema fonamental del càlcul i la regla de la cadena: $$F(x) = \int_{1}^{x^2}…
Calcula la funció derivada $F'(x)$ de la funció integral següent utilitzant el teorema fonamental del càlcul i la regla de la cadena:
$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$Indica el domini de definició de la funció $F(x)$ perquè la integral estigui ben definida.
La regla de Barrow
El teorema fonamental diu que una integral definida es pot calcular amb qualsevol primitiva: avalues la primitiva en els dos extrems i restes. Ja no necessites sumes de rectangles.
Un panell solar tèrmic té un disseny la secció transversal superior del qual està delimitada per la funció $f(x) = 3x^2 + 2$, on $x$ es mesura en metres. Calcula el…
Un panell solar tèrmic té un disseny la secció transversal superior del qual està delimitada per la funció $f(x) = 3x^2 + 2$, on $x$ es mesura en metres. Calcula el valor de la integral definida en l'interval $[0, 2]$ utilitzant la regla de Barrow.
Dada la funció $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcula el valor de la integral definida en l'interval $[0, 3]$ utilitzant la regla de Barrow: $$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$ Explica…
Dada la funció $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcula el valor de la integral definida en l'interval $[0, 3]$ utilitzant la regla de Barrow:
$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$Explica breument per què és necessari dividir l'interval d'integració per a resoldre aquest exercici.
Sigui la funció $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ definida per a $t > 0$. Es defineix una nova funció integral $G(x)$ com a: $$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$ a) Aplicant…
Sigui la funció $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ definida per a $t > 0$. Es defineix una nova funció integral $G(x)$ com a:
$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$- a) Aplicant el teorema fonamental del càlcul i la regla de la cadena, obtén l'expressió de la derivada $G'(x)$.
- b) Determina els intervals de creixement i decreixement de $G(x)$ en el seu domini.
- c) Troba el valor de $x > 1$ per al qual la funció $G(x)$ assoleix un màxim relatiu.