Producte escalar

Un equip d'enginyers està dissenyant l'estructura d'un suport per a una antena de telecomunicacions. Han definit dos cables de subjecció representats pels vectors $\vec{u} = (2, -3, 1)$ i $\vec{v} = (4, 2, 5)$. Calcula el producte escalar de tots dos vectors per a estudiar l'angle que formen en el nus central.

Dos drons de vigilància es troben en posicions fixes en l'espai. El primer dron està en el punt $A(1, 2, -1)$ i el segon en el punt $B(3, -2, 2)$. Si el centre de control està en l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$, calcula el mòdul del vector posició de cada dron, $|\vec{OA}|$ i $|\vec{OB}|$.

En una atracció d'un parc temàtic, dos cables tiren d'una cabina. Les direccions dels cables venen dades pels vectors $\vec{u} = (1, 0, 1)$ i $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Utilitzant la definició de producte escalar, troba l'angle $\alpha$ que formen tots dos cables.

Determina el valor del paràmetre real $k$ perquè els vectors $\vec{a} = (k, 4, -2)$ i $\vec{b} = (3, -2, 5)$ siguin perpendiculars (ortogonals). Aquest tipus de càlculs és fonamental en programació de videojocs per a detectar col·lisions entre superfícies.

Es consideren els punts $A(1, 1, 1)$, $B(3, 1, 1)$ i $C(1, 4, 1)$.

1. a) Troba els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$.
2. b) Calcula el seu producte escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Justifica si el triangle $ABC$ té un angle recte en el vèrtex $A$.

Un vector de vent té components $\vec{w} = (3, -4, 12)$. En meteorologia és útil treballar amb direccions normalitzades. Calcula el vector unitari $\vec{u_w}$ en la mateixa direcció i sentit que $\vec{w}$.

Donat el vector $\vec{a} = (6, 2, -3)$, calcula la seva projecció escalar sobre l'eix d'abscisses (eix $X$). Per a fer-ho, utilitza el producte escalar de $\vec{a}$ amb el vector unitari d'aquest eix, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Representa gràficament la idea de la projecció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En física, el treball realitzat per una força constant es defineix com el producte escalar del vector força pel vector desplaçament: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una força $\vec{F} = (5, 3, 2)$ Newtons desplaça un objecte des del punt $P(0, 0, 0)$ fins al punt $Q(2, 4, 1)$ metres, calcula el treball realitzat expressat en Joules.

Siguin $\vec{u}$ i $\vec{v}$ dos vectors de l'espai tals que els seus mòduls són $|\vec{u}| = 4$ i $|\vec{v}| = 3$. Si se sap que l'angle que formen és de $60^\circ$, calcula el valor del producte escalar dels vectors $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ i $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ utilitzant les propietats distributiva i commutativa.