Intervals (repàs)

En el disseny de components electrònics, la tolerància de voltatge d'un sensor està definida pel conjunt de valors reals $x$ que compleixen la condició de desigualtat següent:

$-3 \leq x < 4,5$

Expressa aquest conjunt de valors utilitzant la notació d'interval i indica de quin tipus d'interval es tracta (obert, tancat o semiobert).

Un servidor de dades d'una empresa tecnològica manté la seva temperatura òptima de funcionament en l'interval donat per $I = (-10, 35]$. Representa aquest interval a la recta real i determina si els valors de temperatura següents pertanyen al conjunt:

• $a = -10$

• $b = 0$

• $c = 35$

• $d = 35,1$

Calcula la intersecció i la unió dels conjunts de nombres reals següents. Expressa el resultat final utilitzant la notació d'intervals:

$A = \{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 5\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \leq 4\}$

Dats els intervals $I = (-\infty, 4]$ i $J = (-2, +\infty)$, realitza les operacions següents i expressa el resultat en notació d'intervals i de forma gràfica:

1. a) $I \cap J$
2. b) $I \cup J$
3. c) $\mathbb{R} - (I \cap J)$

Siguin els conjunts $S_1$ i $S_2$ definits per les condicions següents. Calcula de forma exacta el conjunt resultant de l'operació $(S_1 \cup S_2)^c$ (complementari de la unió):

Donada la funció racional $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$, determina el seu domini de definició i expressa'l com una unió d'intervals. Posteriorment, indica si el valor $x = 3,0001$ pertany a un entorn de centre $3$ i radi $\delta = 0,001$.

En el disseny d'una peça de precisió per a un telescopi, el radi de curvatura $R$ ha de pertànyer al domini de la següent funció per assegurar l'estabilitat estructural. Troba aquest domini i expressa'l com a unió d'intervals:

$f(R) = \sqrt{\frac{\ln(R^2 - 8)}{R - 4}}$

Considera la funció $g(x) = \log_2\left( |x^2 - 1| - 2 \right)$.

1. a) Determina el conjunt de valors reals de $x$ per als quals la funció no està definida.

1. b) Expressa aquest conjunt com un interval o com una unió d'intervals.

1. c) Classifica cada interval obtingut com a obert, tancat o semiobert.

En l'estudi de límits, és fonamental el concepte d'entorn reduït. Si tenim l'entorn $E(3; 0,5)$, que representa tots els nombres reals la distància dels quals al centre $3$ és menor que $0,5$:

1. a) Escriu aquest conjunt en forma d'interval.
2. b) Escriu l'entorn reduït $E^*(3; 0,5)$, és a dir, el mateix conjunt però excloent el punt central.

Troba el conjunt de solucions de la inequació següent amb valors absoluts niats. Representa la solució sobre la recta real i especifica si es tracta d'un conjunt acotat, indicant, en cas afirmatiu, el seu suprem i ínfim:

Determina el valor del paràmetre real $k > 0$ perquè la intersecció dels conjunts $A$ i $B$ sigui un interval de longitud exactament igual a $3$ unitats, essent:

Pista: expressa $A$ i $B$ com a intervals de la recta real i estudia, segons el valor de $k$, com queda $A \cap B$.