Combinatòria

Un estudiant de 2n de Batxillerat vol configurar un codi d'accés de $4$ dígits diferents per a la seva taquilla del gimnàs. Decideix utilitzar únicament els dígits imparells $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ i no pot repetir cap xifra.

1. a) Quants codis diferents pot crear?

1. b) Si l'estudiant oblida el codi, però recorda que el primer dígit era un $7$, quants codis diferents hauria de provar com a màxim?

En un campionat de robòtica, un equip ha de seleccionar $3$ representants d'un grup de $8$ estudiants per explicar el projecte davant del jurat.

1. a) De quantes formes diferents es pot triar el grup de representants si l'ordre de selecció no importa?

1. b) Si entre els $8$ estudiants n'hi ha $2$ que són especialistes en programació i es decideix que almenys un d'ells ha d'estar en el grup, quantes seleccions diferents són possibles?

Una plataforma de streaming està dissenyant una nova interfície personalitzada. Per al perfil d'usuari, es permet triar un avatar combinant els elements següents: 4 formes de cara diferents, 5 tipus de pentinat i 3 estils d'ulleres. A més, el nom d'usuari ha de ser una cadena de 5 caràcters formada per 3 lletres minúscules (d'un alfabet de 26) seguides de 2 dígits.

1. a) Quants avatars diferents es poden crear?
2. b) Quants noms d'usuari diferents es poden generar si no es permet repetir ni lletres ni dígits?
3. c) Si un usuari decideix triar el seu avatar i el seu nom a l'atzar (amb les condicions de l'apartat b), quina és la probabilitat que el seu nom comenci per la lletra "z" i acabi en el dígit "9"?

Tres operadores de telefonia, $M_1$, $M_2$ i $M_3$, gestionen el $40\%$, $35\%$ i $25\%$ de les trucades d'un centre d'atenció al client, respectivament. El percentatge de trucades que es tallen de manera inesperada a cada operadora és del $2\%$, $3\%$ i $4\%$, respectivament.

Es tria una trucada a l'atzar i resulta haver-se tallat. Calcula la probabilitat que l'hagués gestionat l'operadora $M_1$.

Un sistema de ciberseguretat utilitza dos filtres per detectar correus electrònics tipus phishing. El Filtre A detecta el $92\%$ d'aquests correus, mentre que el Filtre B en detecta el $88\%$. Per l'estructura del sistema, un correu és analitzat pel Filtre B només si no ha estat detectat pel Filtre A. Si un correu no és detectat per cap dels dos, arriba a la bústia d'entrada de l'usuari. S'estima que el $3\%$ dels correus rebuts a l'empresa són intents de phishing.

1. a) Quina és la probabilitat que un correu de phishing arribi a la bústia d'entrada?
2. b) Si un correu ha arribat a la bústia d'entrada, quina és la probabilitat que sigui realment un correu de phishing?

Un equip de ciberseguretat està analitzant la vulnerabilitat d'un sistema d'accés que utilitza contrasenyes de $8$ caràcters. Els caràcters permesos són les $26$ lletres de l'alfabet (sense distingir majúscules de minúscules) i els dígits del $0$ al $9$. Una contrasenya es considera "robusta" si compleix les condicions següents:

1. Conté exactament $2$ números diferents i $6$ lletres.

2. Les lletres no es poden repetir.

3. Els dos números han d'estar en posicions consecutives.

Calcula:

1. a) El nombre total de contrasenyes robustes que es poden generar.
2. b) Si un programari de força bruta genera una contrasenya aleatòria seguint únicament l'estructura de $8$ caràcters (lletres o números), quina és la probabilitat que encerti una contrasenya robusta específica en el primer intent?

Una empresa de missatgeria utilitza drons per repartir paquets en una ciutat. La probabilitat que un dron pateixi una avaria tècnica durant un vol d'entrega és de $0,02$. L'empresa realitza $250$ entregues diàries de forma independent.

1. a) Justifica si es pot aproximar la variable "nombre d'avaries diàries" per una distribució normal. En cas afirmatiu, indica els seus paràmetres.
2. b) Utilitzant l'aproximació adequada, calcula la probabilitat que en un dia determinat es produeixin exactament $5$ avaries.
3. c) Calcula la probabilitat que es produeixin entre $3$ i $8$ avaries (tots dos inclosos).

S'ha realitzat una enquesta a 250 estudiants d'un centre tecnològic sobre el seu ús de sistemes operatius. Els resultats es mostren en la taula de contingència següent:

Si es tria un estudiant a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que sigui un alumne de Grau Superior i utilitzi principalment Linux.
2. b) Si sabem que l'alumne utilitza principalment Windows, quina és la probabilitat que sigui de Grau Mitjà?
3. c) Són independents els successos "ser alumne de Grau Superior" i "utilitzar principalment Linux"? Raona la resposta.