Llocs geomètrics a l'espai

Dats els punts $A(2, -1, 3)$ i $B(4, 3, -1)$:

1. a) Planteja la condició $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ per a un punt genèric $X(x, y, z)$.
2. b) Simplifica l'equació resultant fins a obtenir l'equació del pla mediador del segment $AB$.
3. c) Comprova que el punt mitjà de $AB$ pertany a aquest pla.

Dues balises de sonar estan instal·lades al fons d'un port, en els punts $A(0, 0, 0)$ i $B(6, 2, 4)$ (coordenades en hectòmetres). Un submarí rep el senyal de totes dues amb la mateixa intensitat, la qual cosa significa que equidista de les dues balises, com suggereix la figura.

1. a) Planteja la condició $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ per a un punt genèric $X(x, y, z)$ i demostra que el lloc geomètric de les posicions del submarí és un pla, trobant la seva equació.
2. b) Un submarí es troba en el punt $P(4, 2, 1)$. Rep els dos senyals amb la mateixa intensitat? De quina balisa està més a prop?
3. c) Interpreta el pla obtingut com a «frontera de cobertura» entre les dues balises.

1. a) Troba l'equació del lloc geomètric dels punts de l'espai que disten $5$ unitats del punt $C(1, -2, 0)$.
2. b) Quina superfície és? Indica el seu centre i el seu radi.
3. c) Decideix, sense dibuixar, si el punt $P(4, 2, 0)$ pertany a aquesta superfície.

Dats els punts $A(1, 0, 2)$ i $B(3, 4, -2)$, es busca el lloc geomètric dels punts $X$ de l'espai tals que el triangle $ABX$ és rectangle a $X$, és a dir, els segments $AX$ i $BX$ són perpendiculars, com s'il·lustra a la figura.

1. a) Expressa la condició de perpendicularitat mitjançant el producte escalar $\vv{XA} \cdot \vv{XB} = 0$.
2. b) Desenvolupa la condició fins a obtenir una equació en $x$, $y$, $z$ i reescriu-la completant quadrats.
3. c) Identifica la superfície obtinguda: quina relació té el seu centre i el seu radi amb el segment $AB$? (És la versió espacial del teorema de Tales.)

Troba el lloc geomètric dels punts de l'espai que equidisten dels plans $\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0$ i $\pi': x + 2y - 2z + 1 = 0$.

1. a) Planteja la condició $\text{dist}(X, \pi) = \text{dist}(X, \pi')$ fent servir la fórmula de la distància punt-pla.
2. b) Resol l'equació amb valor absolut distingint els dos casos possibles i dona les equacions dels plans resultants (plans bisectors).
3. c) Comprova que els dos plans obtinguts són perpendiculars entre si.

Indica si les afirmacions següents sobre llocs geomètrics en l'espai són verdaderes o falses, justificant cada resposta:

1. a) «El lloc geomètric dels punts que equidisten de dos plans paral·lels diferents és un únic pla, paral·lel a tots dos i situat a la mateixa distància de cadascun.»
2. b) «El lloc geomètric dels punts que equidisten de dos plans secants és un únic pla.»
3. c) «El lloc geomètric dels punts que equidisten dels tres eixos de coordenades és una única recta.»

1. a) Justifica que la distància d'un punt genèric $X(x, y, z)$ a l'eix $OZ$ és $\sqrt{x^2 + y^2}$.
2. b) Troba l'equació del lloc geomètric dels punts que disten $3$ unitats de l'eix $OZ$ i identifica la superfície que s'obté.
3. c) Quina figura forma la intersecció d'aquesta superfície amb el pla $z = 2$? I amb el pla $y = 0$?