Integració per canvi de variable
La regla de la cadena diu que $\big(g(u(x))\big)' = g'(u(x))\cdot u'(x)$. Llegida al revés: si l'integrand té la forma $g(u(x))\cdot u'(x)$, la seva primitiva és $G(u(x))$, on $G$ és una primitiva de $g$. Canviar de variable és, senzillament, posar nom a aquesta $u(x)$ per no perdre-la de vista.
Cadena al revés: reconèixer $g(u(x))\cdot u'(x)$
Un equip d'enginyers de so està analitzant l'ona de pressió d'un nou sintetitzador. La funció que descriu l'acumulació d'energia ve donada per la integral d'una potència…
Un equip d'enginyers de so està analitzant l'ona de pressió d'un nou sintetitzador. La funció que descriu l'acumulació d'energia ve donada per la integral d'una potència composta. Calcula la primitiva següent utilitzant el canvi de variable $t = 3x - 5$:
$$\int (3x - 5)^7 \, dx$$En el disseny d'una rampa per a un skatepark, s'utilitza una corba exponencial per suavitzar la transició. Troba la família de funcions primitives de l'expressió següent…
En el disseny d'una rampa per a un skatepark, s'utilitza una corba exponencial per suavitzar la transició. Troba la família de funcions primitives de l'expressió següent utilitzant la substitució $u = \frac{x}{2}$:
$$\int e^{x/2} \, dx$$El canvi explícit pas a pas
Quan l'estructura no es veu a simple vista, es nomena $u=u(x)$ per escrit, es aïlla $dx$ i se substitueix tot —inclòs el $dx$— en funció de $u$.
Un laboratori biològic estudia la velocitat de creixement d'una població de bacteris. La funció de creixement ve donada per una expressió que requereix integrar el…
Un laboratori biològic estudia la velocitat de creixement d'una població de bacteris. La funció de creixement ve donada per una expressió que requereix integrar el quocient següent. Calcula la primitiva utilitzant el canvi de variable $t = e^x$:
$$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} \, dx$$En l'estudi de circuits de corrent altern, apareix amb freqüència la necessitat d'integrar funcions trigonomètriques combinades. Troba la primitiva de la funció següent…
En l'estudi de circuits de corrent altern, apareix amb freqüència la necessitat d'integrar funcions trigonomètriques combinades. Troba la primitiva de la funció següent fent el canvi de variable $t = \cos x$:
$$\int \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$$Canvis amb arrels i funcions compostes
Calcula la integral indefinida de la funció següent, que representa la taxa de variació del volum d'aire als pulmons d'un esportista durant un entrenament d'alta…
Calcula la integral indefinida de la funció següent, que representa la taxa de variació del volum d'aire als pulmons d'un esportista durant un entrenament d'alta intensitat:
$$\int \frac{1}{x \sqrt{1+\ln x}} dx$$Per resoldre-la, proposa un canvi de variable que elimini l'arrel quadrada del denominador.
Calcula la primitiva de la funció següent amb radicals de diferent índex. Per fer-ho, utilitza un canvi de variable del tipus $x = t^n$, on $n$ sigui el mínim comú…
Calcula la primitiva de la funció següent amb radicals de diferent índex. Per fer-ho, utilitza un canvi de variable del tipus $x = t^n$, on $n$ sigui el mínim comú múltiple dels índexs de les arrels:
$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + 1} \, dx$$