Exercicis: Producte escalar

Un equip d'enginyers està dissenyant l'estructura d'un suport per a una antena de telecomunicacions. Han definit dos cables de subjecció representats pels vectors $\vec{u} = (2, -3, 1)$ i $\vec{v} = (4, 2, 5)$. Calcula el producte escalar de tots dos vectors per a estudiar l'angle que formen en el nus central.

Dos drons de vigilància es troben en posicions fixes en l'espai. El primer dron està en el punt $A(1, 2, -1)$ i el segon en el punt $B(3, -2, 2)$. Si el centre de control està en l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$, calcula el mòdul del vector posició de cada dron, $|\vec{OA}|$ i $|\vec{OB}|$.

Determina el valor del paràmetre real $k$ perquè els vectors $\vec{a} = (k, 4, -2)$ i $\vec{b} = (3, -2, 5)$ siguin perpendiculars (ortogonals). Aquest tipus de càlculs és fonamental en programació de videojocs per a detectar col·lisions entre superfícies.

En una atracció d'un parc temàtic, dos cables tiren d'una cabina. Les direccions dels cables venen dades pels vectors $\vec{u} = (1, 0, 1)$ i $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Utilitzant la definició de producte escalar, troba l'angle $\alpha$ que formen tots dos cables.

Un vector de vent té components $\vec{w} = (3, -4, 12)$. En meteorologia és útil treballar amb direccions normalitzades. Calcula el vector unitari $\vec{u_w}$ en la mateixa direcció i sentit que $\vec{w}$.

Donat el vector $\vec{a} = (6, 2, -3)$, calcula la seva projecció escalar sobre l'eix d'abscisses (eix $X$). Per a fer-ho, utilitza el producte escalar de $\vec{a}$ amb el vector unitari d'aquest eix, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Representa gràficament la idea de la projecció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es consideren els punts $A(1, 1, 1)$, $B(3, 1, 1)$ i $C(1, 4, 1)$.

1. a) Troba els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$.
2. b) Calcula el seu producte escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Justifica si el triangle $ABC$ té un angle recte en el vèrtex $A$.

En física, el treball realitzat per una força constant es defineix com el producte escalar del vector força pel vector desplaçament: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una força $\vec{F} = (5, 3, 2)$ Newtons desplaça un objecte des del punt $P(0, 0, 0)$ fins al punt $Q(2, 4, 1)$ metres, calcula el treball realitzat expressat en Joules.

L'Elena ha de calcular la projecció escalar del vector $\vec{a} = (3, -1, 2)$ sobre el vector $\vec{b} = (1, 2, -2)$ i deduir si l'angle que formen és agut, recte o obtús. En el seu examen escriu el següent:

«Calculem la projecció: $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-2)}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3-2-4}{\sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{14}}$. Com que una projecció representa una mesura geomètrica, no pot ser negativa, per la qual cosa el resultat correcte és $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{\sqrt{14}}$. A més, en ser una quantitat positiva, això demostra que l'angle que formen $\vec{a}$ i $\vec{b}$ és agut».

Identifica raonadament els tres errors conceptuals comesos per l'Elena (en la fórmula emprada, en la interpretació del signe de la projecció i en la conclusió sobre l'angle), explica per què són incorrectes i redacta la resolució degudament corregida.

Donats els vectors $\vec{u} = (4, 1, 1)$ i $\vec{v} = (-1, 5, 2)$:

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric exacte:

• Observa els signes i magnituds de les components homòlogues i estima raonadament si el producte escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$ serà positiu, negatiu o molt proper a zero. A partir d'això, prediu si l'angle $\alpha$ entre tots dos serà agut, obtús o gairebé recte.

• Sabent que $\vec{u}$ té gairebé tot el seu pes en l'eix $X$ i $\vec{v}$ en l'eix $Y$, estima si l'ombra o projecció escalar de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ serà gran o petita en comparació amb la longitud de $\vec{v}$.

1. b) Calcula ara el producte escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$, els mòduls $|\vec{u}|$ i $|\vec{v}|$, l'angle exacte $\alpha$ (arredonit al grau més proper) i la projecció escalar $\text{proy}_{\vec{v}}\vec{u}$.
2. c) Compara els resultats numèrics obtinguts amb les teves estimacions de l'apartat a) i raona si la teva intuïció geomètrica inicial ha estat encertada.

Donats els vectors $\vec{u} = (m, 2, -1)$ i $\vec{v} = (3, m, m+2)$, determina els valors del paràmetre real $m$ perquè tots dos vectors siguin ortogonals. En cas d'existir diversos valors, explica si els vectors resultants en cada cas tenen el mateix mòdul.

Siguin $\vec{u}$ i $\vec{v}$ dos vectors de l'espai tals que els seus mòduls són $|\vec{u}| = 4$ i $|\vec{v}| = 3$. Si se sap que l'angle que formen és de $60^\circ$, calcula el valor del producte escalar dels vectors $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ i $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ utilitzant les propietats distributiva i commutativa.

Calcula la projecció escalar i la projecció vectorial del vector $\vec{a} = (1, -2, 5)$ sobre el vector $\vec{b} = (3, 0, 4)$.

1. a) Calcula la projecció escalar de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$.

1. b) Calcula la projecció vectorial de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$.

1. c) Interpreta gràficament si el vector projecció té el mateix sentit que $\vec{b}$, basant-te en el signe del producte escalar $\vec{a}\cdot\vec{b}$ que has obtingut.

Els vèrtexs d'un triangle en l'espai són $A(1, 2, 1)$, $B(3, -1, 0)$ i $C(-1, 0, 4)$.

• a) Calcula l'angle interior en el vèrtex $A$.

• b) Utilitza el producte escalar per a determinar si el triangle és acutangle, rectangle o obtusangle.

Un vector $\vec{w}$ té mòdul 10 i els seus dos primers cosinus directors són $\cos \alpha = 0,6$ i $\cos \beta = -0,8$.

• a) Determina el tercer cosinus director, $\cos \gamma$.

• b) Troba les components del vector $\vec{w}$.

En una estructura d'enginyeria, una força $\vec{F} = (4, -3, 2)$ Newtons actua sobre un punt desplaçant-lo des de la posició $P(1, 1, 1)$ fins a $Q(5, 2, -3)$ (coordenades en metres). Calcula el treball realitzat per la força, recordant que el treball és el producte escalar del vector força pel vector desplaçament $\vec{W} = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Determina el valor de $k$ perquè l'angle format pels vectors $\vec{u} = (1, 1, 0)$ i $\vec{v} = (0, 1, k)$ sigui exactament de $45^\circ$. Justifica si el valor de $k$ obtingut és únic o si existeixen diverses orientacions possibles per al vector $\vec{v}$.

Siguin $\vec{u}$ i $\vec{v}$ dos vectors unitaris. Demostra que el vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ i el vector diferència $\vec{u} - \vec{v}$ són sempre perpendiculars entre si, independentment de les components d'aquests vectors. Utilitza aquest resultat per a explicar la relació geomètrica entre les diagonals d'un rombe.

Determina tots els vectors $\vec{w} = (x, y, z)$ de l'espai que compleixin simultàniament les tres condicions següents:

1. És ortogonal al vector $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Forma un angle de $45^\circ$ amb el vector $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

3. El seu mòdul és $|\vec{w}| = \sqrt{6}$.

Un cop obtinguts els vectors, explica mitjançant arguments geomètrics per què el problema admet exactament dues solucions diferents (interpreta la intersecció geomètrica entre el pla d'ortogonalitat, el con d'angle constant i l'esfera de radi fixat).

En una instal·lació d'energia solar fotovoltaica situada a La Mancha, els panells estan muntats sobre una estructura fixa orientada segons el vector normal unitari $\vec{n} = (0; 0,6; 0,8)$ respecte a un sistema de referència on el semieix $X$ positiu apunta a l'Est, el semieix $Y$ positiu al Nord i el semieix $Z$ positiu cap al zenit (vertical cap amunt). A les 14:00 h d'un dia de primavera, la radiació solar incideix en la direcció del vector unitari $\vec{s} = (0,3; -0,4; -0,866)$ (orientat en el sentit de l'avanç dels rajos cap al terra).

1. a) Modela la direcció dels rajos solars respecte a la placa: obtén el vector unitari que apunta cap al Sol, $\vec{u}_{\text{sol}} = -\vec{s}$, i calcula mitjançant el producte escalar l'angle d'incidència $\theta$ que formen els rajos amb el vector normal $\vec{n}$ del panell.
2. b) La potència instantània generada per la instal·lació es modelitza com $P = P_{\text{màx}}\cdot \cos\theta$, on $P_{\text{màx}} = 20\text{ kW}$ correspon a la situació òptima en què els rajos incideixen amb perpendicularitat total sobre el panell. Calcula la potència que genera la instal·lació a aquella hora.
3. c) A partir de la fórmula del producte escalar, justifica raonadament com s'hauria de reorientar el vector normal del panell a aquella hora per assolir la potència màxima.

Un equip d'enginyers està calibrant el sensor d'orientació d'un dron d'inspecció industrial. El sistema de referència està fixat a la base d'enlairament. Es coneix que l'eix principal del dron ha de seguir la direcció d'un vector $\vec{w}$ que compleixi simultàniament les següents tres condicions:

1. El vector $\vec{w}$ ha de ser unitari.

2. $\vec{w}$ ha de ser ortogonal al vector $\vec{u} = (1, -2, 2)$, que representa la direcció del vent dominant.

3. L'angle que forma $\vec{w}$ amb el vector de posició de l'objectiu, $\vec{v} = (0, 3, 4)$, ha de ser de $45^\circ$.

Determina les coordenades dels possibles vectors $\vec{w}$ que pot utilitzar el programari de navegació del dron.

Es considera un tetraedre de vèrtexs $O(0,0,0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ i $C(0, 0, c)$ amb $a, b, c > 0$. Sigui $M$ el punt mitjà del segment $BC$.

1. a) Utilitzant exclusivament el producte escalar, demostra que el vector $\vec{AM}$ és perpendicular al segment $BC$ si i només si els catets de la base sobre els eixos $Y$ i $Z$ tenen la mateixa longitud ($b = c$).

1. b) Si fixem $a=4$, $b=2$ i $c=2$, calcula la projecció ortogonal del vector $\vec{OA}$ sobre la direcció definida pel vector $\vec{AB}$. Expressa el resultat com un vector.

En el disseny d'una estructura arquitectònica d'avantguarda, es requereix col·locar un cable de tensió que uneixi un punt fix $P(1, 2, 3)$ amb un punt variable $Q$ situat sobre una biga metàl·lica la trajectòria de la qual ve donada per la recta $r: (x, y, z) = (2, 0, 1) + \lambda(1, -1, 0)$.

Es desitja que el cable sigui el més curt possible. Utilitza el concepte de producte escalar i projecció per a:

1. a) Determinar les coordenades del punt $Q$ que minimitza la longitud del cable.
2. b) Comprovar que, per a aquest punt, el vector $\vec{PQ}$ és perpendicular al vector director de la biga $r$.

Donats els vectors $\vec{u} = (m, 1, 1)$ i $\vec{v} = (1, m, 1)$, es demana:

1. a) Determinar els valors del paràmetre real $m$ per als quals l'angle format per $\vec{u}$ i $\vec{v}$ sigui exactament de $60^\circ$.

1. b) Per al valor de $m=0$, troba un vector $\vec{w}$ de mòdul $\sqrt{6}$ que sigui combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$, i que a més sigui ortogonal al vector $\vec{a} = (1, 1, -1)$.

Demostra, utilitzant les propietats del producte escalar, que per a qualssevol dos vectors $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$, es compleix la següent identitat (coneguda com la Identitat de Polarització):

A continuació, utilitza aquest resultat per a calcular el producte escalar de dos vectors les sumes i restes dels quals tenen mòduls $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ i $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$. Quin angle formen aquests vectors si a més sabem que els seus mòduls són iguals?

Un satèl·lit artificial es desplaça seguint una trajectòria rectilínia. En un instant donat, el seu vector de posició és $\vec{r} = (2, 2, 1)$ i el seu vector velocitat és $\vec{v} = (1, -2, 2)$. Un centre de control a la Terra emet un senyal de ràdio la direcció del qual ve donada pel vector $\vec{s} = (k, 1, 0)$.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la projecció de la velocitat del satèl·lit sobre la direcció del senyal de ràdio sigui nul·la. Interpreta físicament què significa que aquesta projecció sigui zero en termes de l'aproximació o allunyament del satèl·lit respecte a la font del senyal.

Sigui $B = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \}$ una base de $\mathbb{R}^3$ que no és necessàriament ortonormal. Es coneixen els següents productes escalars entre els vectors de la base:

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 2$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$, $\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 = 3$

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = -1$, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 1$

Calcula el mòdul del vector $\vec{u} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2 + \vec{e}_3$ i determina el cosinus de l'angle que forma aquest vector $\vec{u}$ amb el vector $\vec{e}_1$.

Considera els punts de l'espai $A(1, 0, -1)$ i $B(3, 2, 1)$. Sigui $r$ la recta que passa pel punt $C(0, 4, 3)$ i té com a direcció el vector $\vec{d} = (1, 1, 1)$.

Determina si existeix algun punt $P$ que pertanyi a la recta $r$ tal que els vectors $\vec{AP}$ i $\vec{BP}$ siguin ortogonals. Existeix una única solució? Justifica la teva resposta analitzant l'equació quadràtica resultant.

Es consideren dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ de l'espai tals que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ i l'angle que formen és $\alpha = 120^\circ$. Es defineix el vector combinació lineal $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$. Es demana trobar el mòdul de $\vec{w}$ i l'angle $\beta$ que forma $\vec{w}$ amb $\vec{u}$. Per resoldre-ho es proposen dues estratègies:

• Mètode 1 (analític per coordenades): Fixar un sistema cartesià convenient on $\vec{u} = (3, 0, 0)$ i $\vec{v} = (5\cos 120^\circ, 5\sin 120^\circ, 0) = (-2,5; 2,5\sqrt{3}; 0)$, calcular les components de $\vec{w}$ i aplicar les fórmules usuals en coordenades.

• Mètode 2 (algebraic intrínsec): Desenvolupar $|\vec{w}|^2 = (2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(2\vec{u}-3\vec{v})$ emprant únicament les propietats del producte escalar (commutativa, distributiva, extracció d'escalars i $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$), i calcular $\cos\beta = \frac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{|\vec{w}|\,|\vec{u}|}$ desenvolupant el numerador sense introduir eixos.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes fins a obtenir el valor exacte de $|\vec{w}|$ i de $\cos\beta$.
2. b) Compara críticament tots dos mètodes: quin requereix menys passos de càlcul i evita arrossegar arrels innecessàries? Quina dificultat addicional presentaria el Mètode 1 si tinguessis tres vectors a l'espai no coplanaris dels quals només coneixes els seus mòduls i els angles dos a dos? Justifica quin mètode és conceptualment més potent i generalitzable en matemàtiques.

En una nau logística de Zaragoza, un pont grua aplica una força $\vec{F} = (10, -5, 15)\text{ kN}$ sobre un nus estructural. Un pilar guia d'ancoratge segueix la direcció del vector $\vec{d} = (1, 2, -2)$.

1. a) Tot vector $\vec{F}$ es descompon de manera única com $\vec{F} = \vec{F}_\parallel + \vec{F}_\perp$, on $\vec{F}_\parallel$ és paral·lel a $\vec{d}$ i $\vec{F}_\perp$ és ortogonal a $\vec{d}$. Dedueix raonadament, plantejant $\vec{F}_\parallel = \lambda\vec{d}$ i imposant que $(\vec{F} - \lambda\vec{d})\cdot\vec{d} = 0$, la fórmula vectorial $\vec{F}_\parallel = \left(\frac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}\right)\vec{d}$. Calcula les components exactes de $\vec{F}_\parallel$ i $\vec{F}_\perp$.
2. b) Comprova explícitament que $\vec{F}_\perp\cdot\vec{d} = 0$ i verifica que es compleix la relació pitagòrica $|\vec{F}|^2 = |\vec{F}_\parallel|^2 + |\vec{F}_\perp|^2$.
3. c) Es retira la força $\vec{F}$ i s'aplica una altra força desconeguda $\vec{G}$ de mòdul $|\vec{G}| = 10\text{ kN}$. Sense conèixer les components de $\vec{G}$, se sap que forma un angle obtús amb el vector $\vec{d}$ i que la magnitud de la seva component perpendicular al cable és $|\vec{G}_\perp| = 6\text{ kN}$. Utilitzant les relacions vectorials demostrades, calcula el valor numèric exacte de la projecció escalar $\text{proy}_{\vec{d}}\vec{G}$ i del producte escalar $\vec{G}\cdot\vec{d}$, justificant amb rigor el signe obtingut.