Producto escalar

Un equipo de ingenieros está diseñando la estructura de un soporte para una antena de telecomunicaciones. Han definido dos cables de sujeción representados por los vectores $\vec{u} = (2, -3, 1)$ y $\vec{v} = (4, 2, 5)$. Calcula el producto escalar de ambos vectores para determinar la relación de tensiones en el nudo central.

Dos drones de vigilancia se encuentran en posiciones fijas en el espacio. El primer dron está en el punto $A(1, 2, -1)$ y el segundo en el punto $B(3, -2, 2)$. Si el centro de control está en el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$, calcula el módulo del vector posición de cada dron, $|\vec{OA}|$ y $|\vec{OB}|$.

En una atracción de un parque temático, dos cables tiran de una cabina. Las direcciones de los cables vienen dadas por los vectores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Utilizando la definición de producto escalar, halla el ángulo $\alpha$ que forman ambos cables.

Determina el valor del parámetro real $k$ para que los vectores $\vec{a} = (k, 4, -2)$ y $\vec{b} = (3, -2, 5)$ sean perpendiculares (ortogonales). Este tipo de cálculos es fundamental en programación de videojuegos para detectar colisiones entre superficies.

Se consideran los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 1, 1)$ y $C(1, 4, 1)$.

1. a) Halla los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
2. b) Calcula su producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Justifica si el triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en el vértice $A$.

Un vector de viento tiene componentes $\vec{w} = (3, -4, 12)$. En meteorología es útil trabajar con direcciones normalizadas. Calcula el vector unitario $\vec{u_w}$ en la misma dirección y sentido que $\vec{w}$.

Dado el vector $\vec{a} = (6, 2, -3)$, calcula su proyección escalar sobre el eje de abscisas (eje $X$). Para ello, utiliza el producto escalar de $\vec{a}$ con el vector unitario de dicho eje, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Representa gráficamente la idea de la proyección.

En física, el trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una fuerza $\vec{F} = (5, 3, 2)$ Newtons desplaza un objeto desde el punto $P(0, 0, 0)$ hasta el punto $Q(2, 4, 1)$ metros, calcula el trabajo realizado expresado en Julios.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores del espacio tales que sus módulos son $|\vec{u}| = 4$ y $|\vec{v}| = 3$. Si se sabe que el ángulo que forman es de $60^\circ$, calcula el valor del producto escalar de los vectores $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ y $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ utilizando las propiedades distributiva y conmutativa.