Exercicis: Propietats de la probabilitat

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ dels usuaris joves estan subscrits al Pla de Música ($M$) i el $40\ \%$ estan subscrits al Pla de Vídeo ($V$). Es sap a més que el $25\ \%$ dels usuaris gaudeixen de tots dos plans simultàniament.

Calcula la probabilitat que un usuari triat a l'atzar estigui subscrit a algun dels dos plans (música o vídeo).

Observa el diagrama de Venn següent que representa els esdeveniments $A$ (estudiants que practiquen bàsquet) i $B$ (estudiants que practiquen natació) en un centre esportiu:

Sabent que els nombres representen la probabilitat de cada regió, utilitza les propietats de la probabilitat per calcular:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilitat que no practiqui bàsquet).

Un estudi sobre hàbits digitals revela que la probabilitat que un adolescent utilitzi una xarxa social de microblogging és $P(S) = 0,72$.

Calcula la probabilitat del succés contrari, és a dir, la probabilitat que un adolescent triat a l'atzar no utilitzi aquesta xarxa social.

Siguin $A$ i $B$ dos successos tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cup B) = 0,7$. Determina si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles justificant la teva resposta mitjançant el càlcul de $P(A \cap B)$.

En una competició d'e-sports, la probabilitat que l'equip "Alfa" guanyi la primera partida és $P(A) = 0,6$. La probabilitat que guanyi la segona és $P(B) = 0,5$. Si la probabilitat que guanyi totes dues és $P(A \cap B) = 0,3$, calcula:

1. a) La probabilitat que guanyi la primera partida però no la segona ($P(A \cap \bar{B})$).

1. b) Il·lustra la situació mitjançant un esquema d'àrees com el següent, en què el quadrat complet representa probabilitat 1 i cada regió té una àrea igual a la seva probabilitat. Completa la probabilitat de les altres tres regions.

Utilitzant les lleis de De Morgan, calcula la probabilitat que no ocorri ni el succés $A$ ni el succés $B$ (és a dir, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabent que la probabilitat de la unió és $P(A \cup B) = 0,84$.

En una urna hi ha boles numerades. Siguin els successos $A$ = "treure un nombre parell" i $B$ = "treure un nombre senar menor que 5". Si coneixem que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ i que els successos són incompatibles, calcula la probabilitat de la unió $P(A \cup B)$.

Donats dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori, es coneixen les dades següents:

$P(\bar{A}) = 0,6$

$P(B) = 0,3$

$P(A \cap B) = 0,1$

Troba el valor de la probabilitat de la unió, $P(A \cup B)$. Suggeriment: calcula primer $P(A)$.

En un examen de Matemàtiques de 2n de Batxillerat, es plantegen dos esdeveniments $A$ i $B$ d'un mateix espai mostral amb probabilitats $P(A) = 0,7$ i $P(B) = 0,5$. En Marcos escriu en el seu desenvolupament: «Com que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,5 = 1,2$, i pels axiomes de Kolmogórov cap probabilitat pot superar $1$, l'enunciat conté un error i aquests dos esdeveniments no poden donar-se en un mateix experiment».\na) Identifica i explica raonadament els dos errors conceptuals comesos per en Marcos (un de relatiu a la fórmula emprada i un altre de relatiu a la compatibilitat dels esdeveniments).\nb) Utilitzant les propietats deduïdes dels axiomes, calcula la cota mínima que ha de prendre $P(A \cap B)$ perquè la situació sigui matemàticament coherent i determina en quin interval pot variar $P(A \cup B)$.

En l'elecció de representants estudiantils d'un centre educatiu, sigui $A$ l'esdeveniment «la persona triada cursa la modalitat de Ciències» amb $P(A) = 0,65$, i sigui $B$ l'esdeveniment «la persona triada participa en el club de debat» amb $P(B) = 0,45$.\na) Estima, abans de realitzar cap càlcul algebraic, si és possible que totes dues característiques siguin incompatibles ($A \cap B = \emptyset$). Justifica la teva intuïció a partir de la suma de les seves probabilitats respecte a l'espai mostral total.\nb) Comprova la teva estimació calculant formalment les cotes de Fréchet per a la intersecció; és a dir, l'interval $[p_{\min}, p_{\max}]$ en el qual s'ha de trobar necessàriament $P(A \cap B)$.\nc) Valora críticament si una estimació prèvia que proposés $P(A \cap B) = 0,50$ seria admissible o si contradiu la propietat de monotonia de la probabilitat ($A \cap B \subseteq B$).

En un estudi sobre el consum de contingut digital en una classe de 2n de Batxillerat, es sap que la probabilitat que un alumne utilitzi habitualment TikTok (succés $A$) és $0,65$, la probabilitat que utilitzi Instagram (succés $B$) és $0,70$ i la probabilitat que no utilitzi cap de les dues xarxes socials és $0,15$.

Utilitzant les propietats de la probabilitat, calcula:

1. a) La probabilitat que un alumne, triat a l'atzar, utilitzi totes dues xarxes socials.
2. b) La probabilitat que en utilitzi només una de les dues.
3. c) Són els successos $A$ i $B$ independents? Justifica la teva resposta.

Dos equips d'E-sports, "Titanes" i "Fénix", participen en un torneig. La probabilitat que els Titanes guanyin la seva partida és $P(T) = 0,8$ i la que els Fénix guanyin la seva és $P(F) = 0,7$. Suposant que els resultats de tots dos equips són independents, calcula mitjançant l'àlgebra de successos les probabilitats següents:

1. a) Que tots dos equips guanyin les seves respectives partides.
2. b) Que almenys un dels dos guanyi.
3. c) Que només guanyi l'equip dels Titanes.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que coneixem $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i la probabilitat de la unió dels seus contraris és $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,8$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.
2. b) Troba $P(A \cup B)$.
3. c) Determina si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles.
4. d) Calcula $P(A / \bar{B})$.

En un centre esportiu, el $60\%$ dels inscrits practica entrenament de força (succés $F$) i el $45\%$ practica ioga (succés $Y$). Se sap a més que el $20\%$ dels que practiquen força també estan inscrits a ioga.

Construeix una taula de contingència o un diagrama de Venn per respondre les qüestions següents:

1. a) Probabilitat que un soci triat a l'atzar no practiqui ni força ni ioga.

1. b) Si sabem que un soci practica ioga, quina és la probabilitat que no practiqui força?

1. c) Són els successos "practicar força" i "practicar ioga" independents?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Siguin $A$ i $B$ dos successos tals que la probabilitat que ocorri $B$ si ha ocorregut $A$ és $P(B/A) = 0,25$. Si sabem que $P(A \cap B) = 0,15$ i que $P(B) = 0,45$:

1. a) Calcula $P(A)$.
2. b) Calcula $P(A \cup B)$.
3. c) Calcula la probabilitat que no ocorri $A$ atès que no ha ocorregut $B$, és a dir, $P(\bar{A} / \bar{B})$.

Un sistema de seguretat intel·ligent té dos sensors independents, $S_1$ i $S_2$. La probabilitat que el sensor $S_1$ detecti una intrusió és $0,92$ i la probabilitat que la detecti el sensor $S_2$ és $0,85$. En el cas que ocorri una intrusió, calcula:

1. a) La probabilitat que sigui detectada per tots dos sensors simultàniament.
2. b) La probabilitat que la intrusió sigui detectada (és a dir, que almenys un sensor funcioni).
3. c) La probabilitat que el sensor $S_1$ falli però el $S_2$ funcioni correctament.

Donats dos successos $A$ i $B$, es sap que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ i $P(A \cup B) = 0,72$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.
2. b) Són els successos $A$ i $B$ independents? Raona la resposta comparant $P(A \cap B)$ amb el producte de les seves probabilitats individuals.
3. c) Calcula $P(\bar{A} / B)$.

Una plataforma de streaming classifica els seus usuaris en "Premium" ($P$) o "Estàndard" ($S$). S'estima que el $40\%$ són Premium. A més, el $70\%$ dels usuaris Premium veuen sèries de ciència-ficció ($C$), mentre que només el $30\%$ dels usuaris Estàndard les veuen. Triat un usuari a l'atzar:

1. a) Calcula la probabilitat que vegi sèries de ciència-ficció.
2. b) Si l'usuari triat està veient una sèrie de ciència-ficció, quina és la probabilitat que sigui un usuari Premium?
3. c) Són els successos "Ser usuari Premium" i "Veure sèries de ciència-ficció" independents? Justifica-ho matemàticament mitjançant propietats de probabilitat condicionada.

A partir de dades adaptades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre equipament i ús de tecnologies en joves espanyols de 16 a 24 anys, se sap que la probabilitat que un jove utilitzi diàriament una plataforma de vídeo a la carta (esdeveniment $V$) és $0,80$, i la que escolti pòdcasts habitualment (esdeveniment $P$) és $0,45$. A més, la probabilitat que no realitzi cap d'aquestes dues activitats és de només $0,05$.\na) Modela la condició «no realitza cap de les dues activitats» mitjançant operacions de conjunts i, aplicant les lleis de De Morgan i la propietat de l'esdeveniment contrari, calcula la probabilitat de la unió $P(V \cup P)$.\nb) Determina la probabilitat que un jove triat a l'atzar realitzi totes dues activitats, $P(V \cap P)$.\nc) Una agència de publicitat afirma que almenys el $20\,\%$ dels joves escolta pòdcasts habitualment però no consumeix vídeo a la carta diàriament ($P \cap \overline{V}$). Utilitzant la descomposició d'esdeveniments en parts incompatibles ($P = (P \cap V) \cup (P \cap \overline{V})$), demostra de manera raonada si aquesta afirmació és vertadera o falsa.

Considera dos esdeveniments $A$ i $B$ d'un espai mostral les probabilitats dels quals depenen d'un paràmetre real $k$, de manera que $P(A) = 2k$ i $P(B) = 3k - 0,1$. Se sap que la probabilitat que ocorri exactament un dels dos esdeveniments és igual a $0,5$.\na) Expressa l'esdeveniment «ocorre exactament un dels dos esdeveniments» mitjançant operacions de conjunts i demostra que la seva probabilitat equival a $P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A \cap B)$.\nb) Suposant en primer lloc que $A$ i $B$ són esdeveniments incompatibles, determina el valor de $k$ i comprova rigorosament que les probabilitats resultants per a $A$ i $B$ verifiquen els axiomes de Kolmogórov ($0 \leq P(S) \leq 1$ i $P(A \cup B) \leq 1$).\nc) Si ara s'admet que $A$ i $B$ poden ser compatibles i es fixa $k = 0,20$, determina el valor que ha de tenir necessàriament $P(A \cap B)$ per mantenir la condició inicial i justifica si aquest valor respecta les cotes teòriques permeses per a la intersecció.

Siguin $A$, $B$ i $C$ tres esdeveniments d'un mateix experiment aleatori tals que formen un sistema complet d'esdeveniments. Es coneixen les relacions següents entre les seves probabilitats:

• La probabilitat d'$A$ és el doble de la de $B$.

• La probabilitat de la unió de $B$ i $C$ és el triple de la probabilitat de $B$.

Demostra raonadament, utilitzant els axiomes de Kolmogórov i les propietats de la probabilitat, si és possible que $P(C) = 0,4$. En cas negatiu, determina el valor exacte de les probabilitats de cada esdeveniment.

En un sistema de seguretat redundant per a una infraestructura de servidors, s'instal·len tres nodes de control ($N_1, N_2, N_3$). Se sap que el sistema falla si almenys dos dels nodes cauen simultàniament. Les probabilitats de fallada de cada node són $P(N_1) = 0,05$, $P(N_2) = 0,08$ i $P(N_3) = 0,10$.

A causa que comparteixen la mateixa xarxa elèctrica, les fallades no són independents. Se sap que:

• La probabilitat que fallin el primer i el segon node és $P(N_1 \cap N_2) = 0,02$.

• La probabilitat que fallin el segon i el tercer és $P(N_2 \cap N_3) = 0,03$.

• La probabilitat que fallin el primer i el tercer és $P(N_1 \cap N_3) = 0,01$.

• La probabilitat que fallin els tres alhora és $P(N_1 \cap N_2 \cap N_3) = 0,005$.

1. a) Dibuixa un diagrama de Venn amb els tres successos $N_1$, $N_2$ i $N_3$ dins de l'espai mostral i calcula la probabilitat de cadascuna de les vuit regions (inclosa l'exterior als tres cercles).

1. b) Calcula la probabilitat que el sistema global no falli, és a dir, que falli com a màxim un node. Recolza't en el diagrama de l'apartat anterior per raonar la teva resposta.

Demostra formalment la generalització següent de les Lleis de De Morgan per a tres successos utilitzant exclusivament les propietats de les operacions amb conjunts i els axiomes de la probabilitat:

Posteriorment, utilitza aquest resultat per resoldre el problema següent: En una empresa de desenvolupament de programari, el $60\%$ dels empleats domina Python, el $40\%$ Java i el $30\%$ C++. Se sap que el $20\%$ domina Python i Java, el $15\%$ Java i C++, i el $10\%$ Python i C++. Si només el $5\%$ domina tots tres llenguatges, calcula la probabilitat que un empleat triat a l'atzar no conegui cap d'aquests tres llenguatges de programació.

Un enginyer aeronàutic analitza la fiabilitat d'un component crític. Siguin $A$ i $B$ dos successos tals que $P(A) = \frac{1}{3}$ i $P(B) = p$.

1. Si $A$ i $B$ són independents, expressa la probabilitat que succeeixi exactament un dels dos successos en funció de $p$.

2. Si $A$ i $B$ són incompatibles, quin és el valor màxim que pot prendre $p$?

3. Determina el valor de $p$ perquè la probabilitat que no succeeixi ni $A$ ni $B$ sigui igual a $\frac{1}{4}$, suposant que $A$ i $B$ són independents.

En una xarxa de sensors IoT, dos sensors $S_1$ i $S_2$ detecten anomalies tèrmiques de forma independent. La probabilitat que el sensor $S_1$ detecti una anomalia és $P(S_1) = x$ i la del sensor $S_2$ és $P(S_2) = y$.

Es defineix un nou succés $Z$ com el fet que l'anomalia sigui detectada per almenys un dels dos sensors. Si sabem que $P(Z) = 0,8$ i que la probabilitat que tots dos sensors fallin simultàniament és el quàdruple de la probabilitat que tots dos ho encertin, planteja un sistema d'equacions i calcula els valors de $x$ i $y$ (suposant $x < y$).

Considera dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori. Es sap que $P(A) = 0,6$ i $P(B) = 0,7$.

Basant-te en els axiomes de Kolmogorov, demostra que:

1. El valor mínim possible per a $P(A \cap B)$ és $0,3$.

2. El valor màxim possible per a $P(A \cap B)$ és $0,6$.

3. Si s'afegeix un tercer succés $C$ tal que $P(C) = 0,8$, quin és el valor mínim de la probabilitat que ocorrin tots tres successos alhora, $P(A \cap B \cap C)$? Justifica la teva resposta utilitzant la desigualtat de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.

En un laboratori de biotecnologia s'estudia la reacció d'una proteïna davant de dos reactius, $\alpha$ i $\beta$. La probabilitat de reacció davant de $\alpha$ és $P(\alpha) = 0,4$. La probabilitat que no reaccioni davant de cap és $P(\alpha^c \cap \beta^c) = 0,3$.

Si denotem com a $R$ el succés "la proteïna reacciona davant de exactament un dels dos reactius", i sabem que $P(R) = 0,5$, determina:

1. a) La probabilitat de reacció davant del reactiu $\beta$.
2. b) Són els successos de reaccionar davant de $\alpha$ i davant de $\beta$ independents? Justifica la teva resposta amb càlculs.
3. c) Són compatibles?

Sigui un espai mostral $E$ i dos successos $A, B \subset E$ amb probabilitats no nul·les. Es defineix la "diferència simètrica" entre els successos com a $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

Si sabem que $P(A \Delta B) = 0,6$ i que $P(A \cup B) = 0,8$:

1. Calcula $P(A \cap B)$.

2. Si a més es compleix que $P(A | B) = 0,4$, troba els valors individuals de $P(A)$ i $P(B)$.

3. Utilitzant els valors obtinguts, verifica si es compleix la identitat $P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$.

Demostra, utilitzant exclusivament els axiomes de Kolmogorov i les propietats de les operacions amb successos (com ara $A \cup B = A \cup (B \cap \overline{A})$ essent aquests últims incompatibles), la fórmula general per a la probabilitat de la unió de tres successos qualssevol $A$, $B$ i $C$:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori les probabilitats dels quals depenen d'un paràmetre $x$: $P(A) = \frac{x}{2}$, $P(B) = \frac{x}{3}$ i $P(A \cap B) = \frac{x}{6}$.

Sabent que els successos $A$ i $B$ no són exhaustius (és a dir, $P(A \cup B) < 1$), determina l'interval de valors possibles per al paràmetre $x$. Per a $x = 1,2$, calcula $P(\overline{A} \cup \overline{B})$.

En un satèl·lit espacial hi ha tres sensors $S_1$, $S_2$ i $S_3$. A partir de proves d'estrès, es coneixen les probabilitats de fallada següents:

• La probabilitat que falli exclusivament $S_1$ és $0,10$.

• La probabilitat que falli exclusivament $S_2$ és $0,08$.

• La probabilitat que fallin $S_1$ i $S_2$ simultàniament, però no $S_3$, és $0,05$.

• La probabilitat que falli $S_3$ és $0,30$.

• La probabilitat que fallin tots tres alhora és $0,02$.

Sabent que els successos "fallada de $S_1$" i "fallada de $S_3$" són incompatibles si $S_2$ no falla, calcula la probabilitat que falli almenys un dels tres sensors.

Dos jugadors, Ana i Blas, llancen alternativament una moneda equilibrada. Guanya el primer que obtingui "Cara". L'Ana llança primer. Defineix l'espai mostral infinit d'aquest experiment i, utilitzant la suma d'una progressió geomètrica, calcula la probabilitat que té en Blas de guanyar el joc (és a dir, que la primera "Cara" surti en un llançament parell).

En el control de qualitat de components aeronàutics s'analitzen tres defectes potencials: tèrmic ($T$), estructural ($E$) i de muntatge ($M$). Es coneixen els registres de probabilitat següents:\n$P(T) = 0,12$, $P(E) = 0,08$, $P(M) = 0,06$;\n$P(T \cap E) = 0,03$, $P(T \cap M) = 0,02$, $P(E \cap M) = 0,01$;\ni la probabilitat que concorrin els tres defectes simultàniament és $P(T \cap E \cap M) = 0,004$.\nEs vol calcular la probabilitat que una peça seleccionada a l'atzar estigui completament lliure de fallades, és a dir, $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\na) Compara dues estratègies per resoldre el problema:\n- Mètode 1: Calcular primer $P(T \cup E \cup M)$ mitjançant el principi d'inclusió-exclusió per a tres esdeveniments i aplicar tot seguit la propietat de l'esdeveniment contrari combinada amb les lleis de De Morgan.\n- Mètode 2: Particionar l'espai mostral en les vuit regions disjuntes d'un diagrama de Venn, calculant una a una les probabilitats de les set regions amb defecte per després restar-les d'$1$.\nJustifica quin dels dos mètodes és més eficient i menys vulnerable a errors algebraics en una prova d'avaluació.\nb) Aplica l'estratègia triada justificant cada igualtat amb la seva corresponent propietat axiomàtica per trobar el valor exacte de $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\nc) Raona com canviaria la probabilitat d'obtenir una peça lliure de fallades si els tres defectes fossin incompatibles dos a dos i explica per què en aquest cas no caldria conèixer cap intersecció.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) monitora tres fenòmens adversos en una comarca de muntanya durant l'hivern: avís per nevada ($N$), avís per ràfegues de vent huracanat ($V$) i avís per gelada severa ($H$). Els registres meteorològics estableixen que:\n- $P(N) = 0,40$, $P(V) = 0,35$ i $P(H) = 0,50$.\n- La densa cobertura de núvols que acompanya les nevades impedeix per raons físiques que es produeixi una gelada per irradiació nocturna, per la qual cosa els esdeveniments $N$ i $H$ són mútuament excloents ($N \cap H = \emptyset$).\n- La probabilitat d'avís conjunt per nevada i vent és $P(N \cap V) = 0,15$.\na) Formula la probabilitat que s'activi almenys un avís, $P(N \cup V \cup H)$, mitjançant la regla general d'inclusió-exclusió per a tres esdeveniments, i simplifica-la deduint raonadament el valor de $P(N \cap V \cap H)$.\nb) Si es constata que $P(V \cap H) = 0,10$, calcula de manera justificada la probabilitat que la comarca passi un dia hivernal completament lliure d'avisos meteorològics i interpreta el significat del resultat obtingut.\nc) Suposa ara que es desconeix el valor concret de $P(V \cap H)$. Demostra, aplicant amb rigor els axiomes de Kolmogórov ($P(E) = 1$ i additivitat per a esdeveniments disjunts en运行 subconjunts de $V$), que el valor de $P(V \cap H)$ només pot oscil·lar en l'interval $[0,10;\ 0,20]$ perquè el model sigui matemàticament coherent.