Propiedades de la probabilidad

En una urna hay bolas numeradas. Sean los sucesos $A$ = "sacar un número par" y $B$ = "sacar un número múltiplo de 5". Si conocemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ y que los sucesos son incompatibles, calcula la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$.

Un estudio sobre hábitos digitales revela que la probabilidad de que un adolescente use una red social de microblogging es $P(S) = 0,72$.

Calcula la probabilidad del suceso contrario, es decir, la probabilidad de que un adolescente elegido al azar no utilice dicha red social.

Utilizando las Leyes de De Morgan, calcula la probabilidad de que no ocurra ni el suceso $A$ ni el suceso $B$ (es decir, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabiendo que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,84$.

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ de los usuarios jóvenes están suscritos al Plan de Música ($M$) y el $40\ \%$ están suscritos al Plan de Video ($V$). Se sabe además que el $25\ \%$ de los usuarios disfrutan de ambos planes simultáneamente.

Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar esté suscrito a alguno de los dos planes (música o video).

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Determina si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles justificando tu respuesta mediante el cálculo de $P(A \cap B)$.

En un estudio sobre el consumo de contenido digital en una clase de 2º de Bachillerato, se sabe que la probabilidad de que un alumno use habitualmente TikTok (suceso $A$) es $0,65$, la probabilidad de que use Instagram (suceso $B$) es $0,70$ y la probabilidad de que no use ninguna de las dos redes sociales es $0,15$.

Utilizando las propiedades de la probabilidad, calcula:

1. a) La probabilidad de que un alumno, elegido al azar, utilice ambas redes sociales.
2. b) La probabilidad de que utilice solo una de las dos.
3. c) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Justifica tu respuesta.

En un centro deportivo, el $60\%$ de los inscritos practica entrenamiento de fuerza (suceso $F$) y el $45\%$ practica yoga (suceso $Y$). Se sabe además que el $20\%$ de los que practican fuerza también están inscritos en yoga.

Construye una tabla de contingencia o un diagrama de Venn para responder a las siguientes cuestiones:

1. a) Probabilidad de que un socio elegido al azar no practique ni fuerza ni yoga.
2. b) Si sabemos que un socio practica yoga, ¿cuál es la probabilidad de que no practique fuerza?
3. c) ¿Son los sucesos "practicar fuerza" y "practicar yoga" independientes?

Considera dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,7$.

Basándote en los axiomas de Kolmogorov, demuestra que:

1. El valor mínimo posible para $P(A \cap B)$ es $0,3$.

2. El valor máximo posible para $P(A \cap B)$ es $0,6$.

3. Si se añade un tercer suceso $C$ tal que $P(C) = 0,8$, ¿cuál es el valor mínimo de la probabilidad de que ocurran los tres sucesos a la vez, $P(A \cap B \cap C)$? Justifica tu respuesta utilizando la desigualdad de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.